關於初三一輪複習中求兩條線段和的最小值問題

2021-01-09 李潤澤聊數學

在中考數學中，總會出現求兩條線段和的最小值問題。下面總結歸納了三種模型，可以輕鬆秒殺此類型題目。

【將軍飲馬模型】

形如求PA+PB的最小值

模型條件：點A、B為定點，點P為某條直線或線段上的一個動點，簡稱「」兩定一動」

秒殺技巧：做任一定點關於動點所在直線的對稱點，將同側定點轉化為異側定點後根據兩點之間線段最短連線即可。

例題：如圖1，在直角坐標系中，矩形ABOC的頂點A的坐標為（-4，5），點D為BO的中點，點E是OC上的一點，當△ADE周長最小時，求點E的坐標。

圖1將軍飲馬模型

表面上看到此題沒有明顯的將軍飲馬模型應用條件，但是通過分析△ADE的周長是由定值AD＋動值DE＋動值AE組成，此時不難發現就是隱形的將軍飲馬問題哇！

解題步驟：

（1）做定點的對稱點

可以選擇做定點A或者定點D關於y軸的對稱點A'或者B'；

（2）連線

連接A'D或者B'D，交OC於點E，此時的點E即為所求的△ADE周長最小時的點E。

（3）計算求題目中最小時的點E坐標

先根據點A坐標可知點A"坐標為（4，5）或者根據點A坐標和點D是中點可知點D坐標為（-2，0），從而得出點D'坐標為（2，0）；

然後用待定係數法求出A'D或者是D'A所在直線的解析式；

最後根據點E在y軸上取x＝0，求出y的值即為點E的坐標（0，5/3）。

【胡不歸模型】

形如求PA+nPB（n≠1）的最小值，其中點P是直線或線段上的動點。

模型條件：兩定一動兩條線段和的最小值問題，跟將軍飲馬模型不同的是其中有一條或者兩條線段係數不為1。

秒殺技巧：

構造以模型中的PB為斜邊的直角三角形，使得sinα＝n，從而把係數轉化為1。

例題：如圖2所示，拋物線y=x﹣2x﹣3與x軸交於A、B兩點，過B的直線交拋物線於E，且tan∠EBA=4/3，有一隻螞蟻從A出發，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點處覓食，則螞蟻從A到E的最短時間是多少s？

圖2胡不歸模型

題目分析：點A和點B是兩個定點，點D是一個動點，且定點A與動點D在同一條定直線AC上；上面的角α其實就是依託於這裡的定點A及定直線AC做出的，即過定點A作一條射線與定直線AC所交銳角為角α即可！說到底就是「抓不變量」的解題策略，依託於定點A及定直線AC作角α，使其滿足sinα =V2/V1，即可順利將所謂「胡不歸」「難題」轉化為係數均為1的常規最值問題。

不難發現所求時間的最小值即AD+4/5DE的最小值。很明顯的胡不歸問題呀！

解題步驟：

（1）構造三角函數，化係數為1

過定直線EB上的定點E的上方構造∠BEF＝α，使其滿足sinα＝4/5；再過動點D作DG⊥EF於點G，則sinα＝4/5＝ DG/DE，從而有DG＝4/5DE，這樣問題就轉化為求AD＋DG的最小值問題；

（2）尋找題目特殊性，重新調整圖形

不難發現題目中∠BEF＝∠EBA，即EF‖x軸；

（3）利用垂線段最短原理，解決係數均為1的常規最值問題

易知AD+DG≧AG，若且唯若A、D、G三點共線時取等。

（4）計算求解AG的長即為所求

【阿氏圓模型】

形如求PA+nPB（n≠1）的最小值，其中點P是圓（或隱圓）上的動點。

模型條件：兩定一動兩條線段和的最小值問題。此類題目跟將軍飲馬模型不同的是其中有一條或者兩條線段係數不為1；跟胡不歸模型不同的是動點不在直線或線段上運動，而是在圓上運動。

秒殺技巧：構造母子型相似，化係數為1。

例題：如圖3，已知點B（8，0），點C（0，6），半徑為3的⊙O上有一動點P，求PB+1/2PC最小值。

圖3阿氏圓模型

題目分析：此題依然是一個「兩定一動型」最值問題，且動點P被「綁在」了半徑為3的⊙O上運動，動點P的本質特徵也就是⊙O的本質特徵，即到原點O的距離始終為3，解題的關鍵肯定也要抓住這個本質特徵；難點依然是化係數為1。

解題步驟：

（1）連接半徑，突出本質

根據已知條件可知動點P被「綁在」了半徑為3的⊙O上，動點P的本質特徵是其到原點O的距離始終為定值3，轉化「1/2*PC」的關鍵肯定也要抓住這個本質特徵；

如圖3-1連接半徑OP，發現題目的特殊性，即OP=3且OC=6，這是本題的「巧合」，一般此種題型都具備這樣的特殊性，同學們要多嘗試、多聯想；

圖3-1阿氏圓模型

（2）聯想比例，構造相似

如圖3-2，在OC上取一點M，使得OM/OP＝1/2，即OM＝3/2，此時易知△OMP∽△OPC，且相似比為1/2。則由相似三角形的對應邊成比例可知MP/PC＝1/2，從而有MP＝1/2PC，則問題轉化為求PB+PM的最小值問題。

圖3-2阿氏圓模型

（3）兩點之間線段最短

如圖3-3，連接BM，交⊙O於點M，此時的點M即為所求最小值時的點M位置。

（4）計算求BM的長

聚焦Rt△MOB，利用勾股定理BM長度輕鬆得解。

圖3-3阿氏圓模型

當然，題目中的解題技巧並非唯一，在此只為拋磚引玉，歡迎大家關注，評論轉發支持，一起來探討學習數學！

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