歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，「將軍飲馬問題」是初中壓軸題中最常見的一類題型，它的起源就來自於初一下軸對稱現象、垂直平分線的應用，這之後逐漸融合其它知識，如勾股定理、圓、相似、函數等，題型變化就越多，在初一下《生活中的軸對稱》這章，是最基礎的「將軍飲馬問題」，重在對「化曲為直」這個解題思路的理解上，便再簡單，「廋死的駱駝比馬大」，它往往是初一下期末考的壓軸題。今天我們就有關這個問題，展開詳細的解讀。
一.線段和的最小值問題「將軍飲馬問題」
【題型特點】：「兩定一動」，求線段和（或周長）的最小值；
【解題思維】：「化曲為直」；
【解題方法】：以動點所在直線為對稱軸，任選一個定點，作它的對稱點，連接對稱點與另一個定點，所連線段即為線段和的最小值；
【數學原理】：兩點之間（直）線段最短
【典型例題】：
例1.如圖所示，在所給正方形網格圖中完成下列各題：（用直尺畫圖）
（1）畫出格點△ABC關於直線DE對稱的△A`B`C`；
（2）在DE上畫出點Q，使△QAB的周長最長.
解析：（1）考查作軸對稱圖形，如圖所示；
（2）考查線段和的最小值，將軍飲馬問題。
由（1）可知：A與A`關於DE對稱，連接A`B，交DE於點Q，點Q即為所求，此時△QAB的周長最小。
理由：△ABC的周長=QA+QB+AB，由於A、B是定點，AB的長度固定，所以要使周長最小，只要AQ+QB最短，根據圖形軸對稱的性質可得：QA+QA`，即QA+QB=QA`+QB=BA`，根據「兩點之間線段最短」可知：A`與B之間的距離，A`B是最短的，故QA+QB最短，所以△QAB周長最小。
例2.如圖，等腰△ABC的底邊BC長為4釐米，腰AB的垂直平分線EF分別交AB、AC於點E、F，若D為底邊BC的中點，點M為線段EF上的一動點，△BDM的周長最小值為8，則△ABC的面積是_____
解析：考查線段和的最小值問題：將軍飲馬問題
△BDM的周長=BD+DM+BM，由於BD=BC/2=2，要使周長最小，只需DM+BM最小，∵EF是AB的垂直平分線，∴點A與點B關於直線EF對稱，連接AD，交EF於點M，點M即為所求，∵EF是AB的垂直平分線，∴AM=MB，此時△BDM的周長最小值=2+MD+MB=2+MD+MA=2+AD=8，∴AD=6，∴△ABC的面積=BC×AD÷2=4×6÷2=12.。
例3.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，作AD⊥BC於點D，且AD=AB，點E為AC邊上的中點，點P為BC邊上一動點，則PA+PE的最小值為______
解析：考查線段和的最小值問題（將軍飲馬問題）
作點A關於BC的對稱點D`，連接D`E交BC於點P，點P即為所求，此時PA+PE有最小值，最小值為線段D`E的長。∵AD=AB/2，AE=AC/2，AB=AC，∴AD=AE，∵AD=AD`/2，AD=AB/2=AC/2，∴AD`=AC，∵∠EAD`=∠DAC，∴△AED`≌△ADC，∴D`E=DC，∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，依「三線合一」可得：BD=DC=BC/2=4，∴D`E=4，即PA+PE的最小值為4。
例4.如圖1，已知正方形ABCD的邊長為6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，點P為正方形ABCD邊上的動點，動點P從點A出發，沿著A→B→C→D運動到D點時停止，設點P經過的路程為x，△APD的面積為y．
(1)如圖2，當x=2時，y=____；
(2)如圖3，當點P在邊BC上運動時，y=____；
(3)當y=12時，求x的值；
(4)當點P在邊BC上運動時，是否存在點P，使得△APD的周長最小？若存在，求出此時x的值；若不存在，請說明理由．
【思路分析】
(1)當x=2時，可得出△APD的底邊AP的長度，由於高AD是已知，故可求出面積y；
(2)當P點在BC上運動時，△APD的底邊AD、高AB均已知，利用公式法即可得出結論；
(3)當點P在BC時，△APD的面積均等於正方形面積的一半，即為18，即y=18,即可推斷出當y=12時，點P在AB邊上或CD邊上，分這兩種情形分類討論，一一求解即可；
(4)考查將軍飲馬問題，作點A關於BC的對稱點A`，且A`在AB的延長線上，連接DA`交BC於點P，點P即為所求，此時△APD的周長最小，利用三角形全等知識，可得P為BC的中點，即可得出AB+BP的長，即點P經過的路程x.
【解題過程】
解析：
(1) 如圖2，∵AP=x=2，AD=6，∠A=90°，∴y=AP×AD÷2=2×6÷2=6；
(2)如圖3，y=AD×AB÷2=6×6÷2=18；
(3)由已知得,只有當點P在邊AB或邊CD上運動時，y=12，
①當點P在邊AB上運動時，∵y=AP×AD÷2=AP×6÷2=12,∴AP=4,即x=4；
②當點P在邊CD上運動時，∵y=DP×AD÷2=DP×6÷2=12,∴DP=4,∴CP=2，∴x=AB+BC+CP=14；
綜上所述，當y=12時，x=4或14；
(4)作點A關於直線BC的對稱點A`，連接A`D交BC於點P，則點P為所求，此時△APD的周長最小，
∴A1B=AB=CD=6，∵∠PBA`=∠PBA=90°，∠C=90°，∴∠PBA`=∠C，∴△A`BP≌△DCP（AAS），∴PB=PC=3，∴x=AB+PB=9．
二.單一線段的最小值問題
【題型特點】：求某動點到某條線段的距離最小值；
【解題思維】：「化斜為垂」；
【解題方法】：過動點作已知直線或線段的垂線段，垂線段長即為該點到這條線段的距離是最小值；
【數學原理】：直線外一點到直線的距離，垂線段最短；
【典型例題】
例5.如圖,OP平分∠MON,PA⊥ON於A,點Q是射線OM上的一動點,若PA=2,則PQ的最小值是_____
解析：依「點到直線的距離中，垂線段最短」，當PQ⊥OM時，PQ有最小值，故作PQ⊥OM於點Q，∵OP平分∠MON,PA⊥ON,∴PQ=PA=2，即PQ的最小值是2.
例6.如圖，△ACB與△CED都是等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90°,且點D在線段AB上，連接AE.
（1）求證：
①△BCD≌△ACE；
②∠DAE=90°；
（2）若AB=8,當點D在線段AB上什麼位置時，四邊形ADCE的周長最小？請說理並求出周長的最小值。
解析：
（1）數學典型模型：「手拉手」模型和「共角」模型。
①∵△ACB與△CED都是等腰直角三角形，∴BC=AC,CD=CE,∵∠BCA=∠DCE=90°,∴∠BCD=∠ACE,∴△BCD≌△ACE(SAS).
②∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°,∵△BCD≌△ACE,∴∠B=∠CAE=45°,∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°.
（2）此題有較大難度，需要有很強的數學邏輯思維能力.
∵△BCD≌△ACE,∴AE=BD,CE=CD,∴四邊形ADCE的周長=AD+AE+DC+CE=AD+BD+CD+CD=AB+2CD,∵AB=8,∴要想四邊形ADCE的周長最小，只需要CD最短即可，由於D點在AB上運動，根據「點到直線的距離中垂線段最短」這一數學原理，∴當CD⊥AB時，CD最短。∵△ACB是等腰直角三角形，CD⊥AB，∴△BCD是等腰直角三角形，且D是AB的中點，∴CD=BD=DA=AB/2=4,∴四邊形ADCE的周長的最小值 = AB+2CD=16.
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