線段和差最值問題----將軍飲馬模型

2021-02-14 芳芳空間

將軍飲馬問題來源說法還是比較多樣化的，在中國唐朝詩人李所作的詩《古從軍行》開頭兩句說：白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。我們的數學興趣愛好者們從詩中發現它隱含著一個有趣的數學問題：

如圖所示・詩中的將軍在觀望遠處的烽火之後從山下的A點出發，走到河邊飲馬後再到n點宿營。

問怎樣走才能使總的路程最短？

這個問題早在古羅馬時代也有，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫，一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然後再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走オ能使路程最短？從此，這個被稱為「將軍馬「的問題廣泛流傳。

將軍馬問題=軸對稱問題=最短距離問題(軸對稱是工具，最短距離是題眼。所謂軸對稱是工具，即這類問題常用的法就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經常會出現兩定點及一條直線上的一個動點，求線段a+b的值，這樣的條件或者問題。一旦出現可以快速聯想到將軍題，然後利用軸對稱解題

下面就相似的問題作個歸納：

類型一    兩定一動型

兩定一動，點在直線的異側，和最小問題

作法：連接AB，與L交點即為點P，PA+PB的值最小為AB

2.兩定一動，點在線的同側，和最小問題

作法：作點B關於l的對稱點B'，連AB'，與l 交點即為P，PA+PB的最小值為AB'．

3兩定一動，點在線的同側，差最小值

作法：連接AB，作AB的中垂線，與直線的交點即為滿足條件的點P，這時差為0

4.兩點一動，兩點在線的同側，差最大

作法：連接AB，與直線的交點即為滿足條件的點（根據三角形兩邊之和大於第三邊可得）

例：已知，如圖拋物線 

   與x軸交於A,B兩點，與y軸交於點C，OA=OC=3,頂點為D  ，在對稱軸上找一點P,使三角形BCP的周長最小，求出點P的坐標及三角形BPC的周長。

考慮一下符合以上哪種情形吧！

以上關於線段之間的和差最值問題，都可以歸結為」兩定一動「類的將軍飲馬型問題，「將軍飲馬」問題是指動點在直線上運動，線段和差的一類最值問題，基本方法是「定點定線作對稱」，往往通過對稱進行等量代換，轉化成兩點之間的距離或點到直線的距離，或利用三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊求得最值。

「將軍飲馬」問題其主要是利用構造對稱圖形解決求兩條線段和差，還可以求三角形周長的最小值，四邊形的周長等一類型的最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結合，在近年的中考中經常出現，而且多以壓軸題的形式出現，其它的相關問題，關注我，看後續吧！

相關焦點

  • 初中數學將軍飲馬引發的動點到定點距離最值問題詳解
    最近有網友問我關於初中數學動點求最值的方法問題。下面我針對這方面的問題做了一個小小的總結。希望對需要的朋友有所幫助。那麼是關於什麼樣的動點求最值的問題呢？我想各位朋友都曾遇到過著名的「將軍飲馬」問題。今天的這個話題就是針對這個問題進行一個匯總整理。下面我們再來重新回顧一下這個著名的「將軍飲馬」問題。
  • 一次函數線段最值,將軍飲馬,如何找到最值點是關鍵
    這一類題其實和前面學習線段時候講的將軍飲馬問題是一樣的解決方法，只不過是加入了一次函數的知識，要利用兩直線聯立去解出最值點的坐標。例題第一問，通過翻折知道BA=BD得到BA=10,然後在直角三角形AOB中，用勾股定理求出OA的長，即知道了A點的坐標，通過A、B兩點待定係數法可以求出直線AB解析式第二問，要三角形PED周長最小，其實就求PD+PE的最小值，因為DE是定值，這就轉化成了典型的將軍飲馬問題
  • 運用轉化思維,構造「圓」模型,求解線段最值問題
    歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，幾何最值問題，一直都是初中幾何題中難度最大的一類題型，利用數學轉化思維，構造各種數學模型，是解決此類題最核心的解題的策略，構造相應的數學模型既有代數方法，也有幾何方法。
  • 勾股定理與線段最值問題題型解讀
    【知識梳理】一.平面圖形中線段和差問題最值的「將軍飲馬問題」1.基礎題型：兩條線段出現三個點：兩個定點+一個動點解題方法：先作圖再計算解答作圖思路：任選兩動點中的一個定點作對稱點，動點所在的線段為對稱軸，連接對稱點與另一個定點，所連的線段即是要求的最小值
  • 2021年中考專題複習,二次函數線段、周長最值問題,四種處理思路
    前節提要：2020年中考數學專題複習，幾何最值之將軍飲馬、胡不歸、隱形圓2020年中考專題複習，旋轉之半角模型、手拉手模型、一線三角模型2020年中考數學專題複習，二次函數與三角形面積最值問題，鉛錘法2020年中考數學專題複習，平行四邊形存在性問題
  • 透視「將軍飲馬問題」,詳細解讀線段及線段和的最小值題型
    歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，「將軍飲馬問題」是初中壓軸題中最常見的一類題型，它的起源就來自於初一下軸對稱現象、垂直平分線的應用，這之後逐漸融合其它知識，如勾股定理、圓、相似、函數等，題型變化就越多，在初一下《生活中的軸對稱》這章，是最基礎的「將軍飲馬問題」，重在對「化曲為直」這個解題思路的理解上，便再簡單，「廋死的駱駝比馬大」，它往往是初一下期末考的壓軸題。
  • 一道中考數學,將軍飲馬問題,竟然用物理知識巧妙解決數學問題
    將軍飲馬問題，在中考數學裡頻頻出現，是熱門考點。會套路的同學，真的是分分鐘解決問題，不明白解題模型，真的是抓破腦袋，也想不出來。一般的將軍飲馬問題，很多同學、老師都已經研究透了。中考命題老師為了確保能刷掉一些同學，也是煞費苦心，絞盡腦汁，在基礎模型上再次創新。正所謂，魔高一尺，道高一丈！2020黑龍江中考數學第18題，就是一道將軍飲馬問題的創新題，老鹿竟然用物理知識輕鬆解決！先看題目：
  • 中考策略,將軍飲馬模型中的平移變換,問題有點難,值得來挑戰
    ，變難為易.我們把這種恰當地進行圖形變換來求解平面幾何問題的方法稱為幾何變換法.下面主要針對平移變換在幾何最值問題的應用談一下看法。我們先看一下利用這一方法源於一經典模型---將軍飲馬問題：早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然後再去河岸同側的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？
  • 中考難點,線段型最值問題的處理三利器
    線段型最值問題是歷年中考命題的熱點，常在壓軸題中出現，由於此類問題都是變化過程中，圖形大小或形狀是隨動點的運動而變化的，學生很難把握變化圖形的形狀及其大小，故大多數學生遇到最值是「談虎色變」不敢下手或無從下手，本文擬通過實例分析，一起探討線段型最值問題的三種解題策略。
  • 將軍飲馬中的線段轉換問題舉例
    （1）連結BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD交拋物線於點N（點N在對稱軸的右側），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD於點F，點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求HF+FP+PC/3的最小值；觀察PF、PC，將軍飲馬求最小值估計大家都會，其實原理還是這個原理，不過要將PC/3進行轉化。
  • 線段和差最值問題中的「阿氏圓」,沒有你想像中的那麼複雜
    初中的典型題型，在題目結構上一般都具有它比較顯著的特點：如出現「求AB+AC的最小值」，我們就知道它是「將軍飲馬問題」，若出現「AB+kAC的最小值」,如果動點在直線上運動，它就是「胡不歸問題」；如果動點在圓上運動，它就是「阿氏圓」。
  • 九年級數學,二次函數中三角形周長的最值問題,解題思路很重要
    1.將軍飲馬模型例題1：如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交於點B，點C，經過B，C兩點的拋物線y=x^2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P，點M為拋物線的對稱軸上的一個動點．本題求三角形周長的最小值，利用的為將軍飲馬模型，這也是周長最小值中比較簡單的一種類型。2.相似三角形（轉化法）例題2：如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（-4，0），（2，0），點C在y軸上，其坐標為（0，-3），拋物線經過點A，B，C．P為第三象限內拋物線上一動點．
  • 關於初三一輪複習中求兩條線段和的最小值問題
    在中考數學中，總會出現求兩條線段和的最小值問題。下面總結歸納了三種模型，可以輕鬆秒殺此類型題目。【將軍飲馬模型】形如求PA+PB的最小值模型條件：點A、B為定點，點P為某條直線或線段上的一個動點，簡稱「」兩定一動」秒殺技巧：做任一定點關於動點所在直線的對稱點，將同側定點轉化為異側定點後根據兩點之間線段最短連線即可。
  • 初中數學中考難點:九年級數學上冊圓及幾何動點最值問題考點解讀
    本專欄包括人教版九年級上冊第24章圓（第1-35課）及中考數學幾何動點最值壓軸題型（第36-79課）含隱形輔助圓、瓜豆原理、胡不歸問題、阿氏圓模型、費馬點模型，由於將軍飲馬問題與三角形關係密切，故放在了三角形專欄進行了講解。
  • 中考數學提分必備041-最值問題不用怕,模型秘籍搞定它
    最值問題是是數學中考的熱點，也是難點，掌握最短路徑的基本模型有利於我們高效準確地解決問題，拿到分數。本文將介紹最短路徑的十二個基本模型，並在文末配以針對練習和中考真題講解。本文也是參照其他老師分享的成果，有需要的同學留言索要即可。
  • 中考提分新策略,三大思維模型助力破解四邊形最值難題
    四邊形中的最值問題其實是三角形中最值問題的延伸，這類最值問題涉及到的知識點有五個：應用兩點之間線段最短；應用垂線段最短；應用三角形三邊之間的關係；應用軸對稱、旋轉、平移（初中三大幾何變化）；構造軌跡圓求最值（包括定角模型、定線模型、隱含圓模型），舉例說明如下：模型1 將軍飲馬模型1．（2019永安市一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點
  • 一道題幫你分析中考數學——幾何動點中的最值問題
    最值問題，一直都是中考數學的熱點題型。無論是幾何最值還是函數最值，全國各地的考題均有涉獵。而部分省市區更是頻繁到年年考，年年讓一批考生痛哭流淚！正所謂「年年歲歲花相似，歲歲年年人不同！」最值問題也是變著花樣出題，今年與二次函數結合，明年又與一次函數結合。
  • 初中數學 | 動點最值問題19大模型+例題詳解,徹底解決壓軸難題
    動點最值問題永遠都是中考最難的壓軸類題目，很多同學都反應不知道該怎麼下手尋找思路。其實這類題目的題型有限，全部總結歸納就是這19種，希望同學們對每一種都能掌握技巧，再遇見類似的就能及時找到思路。
  • 利用三角形三邊關係解決線段最值問題
    在幾何最值問題中，經常需要利用三角形的三邊關係來解答：三角形的三邊關係：任意兩邊之和大於第三邊>任意兩邊之差小於第三邊三角形基本模型講解>基本模型講解我們在利用三角形三邊關係來解答最值問題時，構造出合適的三角形是解題的關鍵。
  • 中考數學:最值問題有多難?網友:題目剛看完,我就決定放棄了
    從全國各地各年份的中考數學真題中不難發現，最值問題無疑是最熱門的考點。雖說各地的考試難度不一樣，最值問題的難點也不一樣。有些地區簡單到只考「將軍飲馬」的基礎模型；而有些省市就不一樣了，「胡不歸」、「阿氏圓」、「費馬點」等大部分學生或者老師連聽都沒聽說過的模型！而「胡不歸」、「阿氏圓」這些模型究竟有多難？我們不妨一起來看看下面這兩道例題！