中考數學:最值問題有多難?網友:題目剛看完,我就決定放棄了

2021-01-09 中考數學分享

中考數學最常考的壓軸題是什麼?

從全國各地各年份的中考數學真題中不難發現,最值問題無疑是最熱門的考點。

雖說各地的考試難度不一樣,最值問題的難點也不一樣。有些地區簡單到只考「將軍飲馬」的基礎模型;而有些省市就不一樣了,「胡不歸」、「阿氏圓」、「費馬點」等大部分學生或者老師連聽都沒聽說過的模型!

而「胡不歸」、「阿氏圓」這些模型究竟有多難?我們不妨一起來看看下面這兩道例題!

例題1、胡不歸問題

【分析】

(1)根據題意求得點A、B、C、E的坐標,進而求得直線l1和直線AC解析式.過點P作x軸垂線PG交AC於點H,設點P橫坐標為t,即能用t表示P、H的坐標進而表示PH的長.由S△APC=S△APH+S△CPH=1/2PH×AG+1/2PH×OG=1/2PH×OA=2PH得到關於t的二次函數,即求得t為何值時△APC面積最大,求得此時點P坐標.把點P向上平移MN的長,易證四邊形PMNP』是平行四邊形,故有PM=P』N.在直線l1的上方以EN為斜邊作等腰Rt△NEQ,則有NQ=√2/2EN.

所以PM+MN+√2/2EN=P』N+MN+NQ,其中MN的長為定值,易得當點P』、N、Q在同一直線上時,線段和的值最小.又點N是動點,NQ⊥EQ,由垂線段最短可知過點P』作EQ的垂線段P』R時,P』N+NQ=P』R最短.求直線EQ、P』R解析式,聯立方程組即求得點R坐標,進而求得P』R的長.

(2)先求得C、D、F的坐標,可得△CDF是等腰直角三角形,當△CDF繞F逆時針旋轉45°再沿直線PD平移可得△F』C」D」,根據以O,C」、D」,K為頂點的四邊形為菱形,可得OK∥C」D」,PD⊥C」D」,OK⊥PD,OK=2,即可求得K的坐標,當△CDF繞F順時針旋轉45°再沿直線PD平移可得△F』C」D」,根據以O,C」、D」,K為頂點的四邊形為菱形,可得OK⊥PD,OK=2√2+2,即可求得K的坐標.

【詳細答案見評論區】

【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質,二次函數最值應用,線段和最小值問題,待定係數法求函數解析式,平移、旋轉等幾何變換,等腰直角三角形性質,菱形性質等知識點,能熟練運用相關的性質定理是解題的關鍵.

例題2、「阿氏圓」題型

【分析】(1)根據對稱軸公式可求得拋物線的解析式,先求得點A、B、C的坐標,再利用待定係數法即可求得直線BC的解析式;

(2)根據平行四邊形的性質OC∥EF,OC=EF=4,利用兩點之間的距離公式即可求解;

(3)如解圖,連接PO,在OC上截取OM,使得OM:OP=OP:OC=1:2,求得PC+2PB=2(1/2PC+PB)=2(PM+PB),推出當B、P、M三點共線時,PM+PB的值最小,最小值即為BM的值,利用勾股定理即可求解.

詳細答案見評論區

【點睛】本題考查了待定係數求解析式,平行四邊形的性質,相似三角形的判定和性質,勾股定理,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會添加常用輔助線,利用相似三角形的性質解決問題.

關於這兩道最值問題的題目,你覺得難嗎?

有網友說:我太難了題目剛看完,就決定放棄了!

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