二次函數中矩形周長的最值問題與面積的最值問題，思考方法不一樣。矩形周長的最值問題一般藉助設點法表示出矩形的長和寬，然後利用公式得到周長，一般化簡後為二次函數，然後通過研究二次函數的性質得到最值。矩形面積最值問題，考查比較多的為籬笆問題，以實際應用題居多，籬笆問題中有一類題目需要特別注意，那就是含有「門」的籬笆問題，在處理時不要忽略「門」的存在。
01矩形周長的最值問題
例題1：已知如圖，拋物線y=x^2+（k^2+1）x+k+1的對稱軸是直線x=-1，且頂點在x軸上方．設M是直線x=-1左側拋物線上的一動點，過點M作x軸的垂線MG，垂足為G，過點M作直線x=-1的垂線MN，垂足為N，直線x=-1與x軸的交於H點，若M點的橫坐標為x，矩形MNHG的周長為l．
（1）求出k的值；
（2）寫出l關於x的函數解析式；
（3）是否存在點M，使矩形MNHG的周長最小？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．
分析：（1）已知二次函數的對稱軸，根據對稱軸公式得到關於k的一元二次方程，求出答案後需要驗證，拋物線與y軸的交點在y軸坐標軸，那麼說明k+1＞0，由此得到k的值。
（2）先用x表示出M點的坐標，根據兩點之間的距離公式得到MG，GH；再根據矩形的周長公式即可得到l關於x的函數解析式。
（3）先將l關於x的函數解析式配方，得到x的值，代入拋物線解析式即可得到使矩形MNHG的周長最小時點M的坐標。
本題考查的是二次函數的綜合題，涉及的知識點有：拋物線的對稱軸公式，兩點之間的距離公式，矩形的周長公式，配方法求最值問題，綜合性較強。
02矩形面積的最值問題
1.不含有「門」的問題
例題2：如圖，用一段長為40米的籬笆圍成一個一邊靠牆的矩形花圃ABCD，牆長16米．當AB長為多少米時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？
分析：可以設AB的長為x，那麼AB=CD=x，BC=40-x，根據矩形的面積公式得到關於x的二次函數，通過研究二次函數的最值得到矩形面積的最大值。
這類問題還是比較簡單的，解題時注意檢驗答案。
2.含有「門」的問題
例題3：如圖，用長30米的竹籬笆圍成一個矩形菜園，其中一面靠牆，牆長10米，牆的對面有一個2米寬的門，設垂直於牆的一邊長為x米，菜園的面積為S平方米．
（1）直接寫出S與x的函數關係式；
（2）若菜園的面積為96平方米，求x的值；
（3）若在牆的對面再開一個寬為a（0＜a＜3）米的門，且面積S的最大值為124平方米，直接寫出a的值．
分析：（1）根據矩形面積公式即可寫出函數關係式；（2）根據（1）所得關係式，將S=96代入即可求解；（3）再開一個寬為a的門，即矩形的另一邊長為（32-2x+a）m，根據矩形的面積公式即可求解．
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