九年級數學,與自變量有關的二次函數最值問題,圖像法解題更清晰

在我們印象裡，二次函數有不少最值的專題，比如二次函數與面積最值問題、二次函數實際問題最值問題等等。而本節主要介紹的為二次函數本身的最值問題，只有熟練掌握二次函數本身最值問題，才能更好地解決其它類型的最值問題。

與二次函數的最值問題相關的因素有兩個：（1）函數表達式；（2）自變量的取值範圍，一般需要分以下幾種情況：（1）解析式已知、不限定自變量取值範圍；（2）解析式已知，限定自變量的取值範圍；（3）解析式未知，限定自變量的取值範圍；（4）解析式已知，改變自變量的取值範圍等等情況。

二次函數

01類型一：沒有限定自變量的取值範圍

函數解析式已知，又沒有限定自變量的取值範圍，那麼當開口向上時，二次函數在對稱軸處取得最小值；當開口向下時，二次函數在對稱軸處取得最大值。因此，需要會求解對稱軸和頂點坐標公式。

例題1

分析：先根據一次函數的性質得到a+1＞0且a＜0，則-1＜a＜0，二次項係數小於0，開口向下，自變量取值沒有限制，那麼在對稱軸處取得最大值，可用公式法、配方法等方法求得最值。

例題1答案

這種類型的題目是最基礎的，千萬不要出現計算上的失誤。

最值問題

02類型二：函數定、區間定求最值

函數解析式已知，自變量的取值範圍也已知，那麼在求函數最值時，要看對稱軸在不在取值範圍內。如果對稱軸在所給區間範圍內，那麼還是在對稱軸處取得最值；如果對稱軸不在所給區間範圍內，那麼在所給區間內應該單調增或單調減，應該在區間端點處取得最值。

例題2

分析：利用配方法得到y=（x-1）2，當0≤x≤3時，利用二次函數的性質得到x=1，y有最小值0；x=3，y有最大值，把x=3代入解析式可得到y的最大值

例題2答案

在求最值時，也可以看所給區間與對稱軸的距離遠近。開口向上的二次函數，離對稱軸越近，函數值越小；開口向下的二次函數，離對稱軸越近，函數值越大。

區間範圍

03類型三：函數定，區間變求最值

函數確定，但是所給區間（自變量的取值範圍）變化時，需要分情況討論。

例題3

分析：利用配方法可找出：當x=2時，y取得最小值，最小值為-1；代入y=3可求出x=0或4，再結合「當0≤x≤m時，y的最小值為-1，最大值為3」，即可找出m的取值範圍．

例題3答案

本題考查了二次函數的最值以及二次函數圖像上點的坐標特徵，利用二次函數的最值及二次函數圖像上點的坐標特徵，找出2≤m≤4是解題的關鍵。也可以利用圖像法，畫出二次函數的草圖，可以更加直觀的得到結論，常見的如下圖所示：

函數定，區間變

二次函數

04類型四：函數變，區間定求最值

函數定時，畫出函數圖像；區間定時，將區間畫出，對稱軸隨之發生變化。

例題4

分析：由解析式可知該函數在x=h時取得最小值1、x＞h時，y隨x的增大而增大、當x＜h時，y隨x的增大而減小，根據1≤x≤3時，函數的最小值為5可分如下兩種情況：①若h＜1≤x≤3，x=1時，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，當x=3時，y取得最小值5，分別列出關於h的方程求解即可．

例題4答案

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