九年級數學,二次函數中三角形周長的最值問題,解題思路很重要

2020-12-04 勤十二談數學

很多同學學習完「鉛錘法」後，按照解題套路能很快解決二次函數中三角形面積的最值。如果面積最值問題還沒有掌握的話，可以參考：2020年中考數學專題複習，二次函數與三角形面積最值問題，鉛錘法但是，冷不丁的遇到二次函數中三角形周長的最值問題，卻懵了，不知道如何下手，解決這類問題解題思路很重要。

1.將軍飲馬模型

例題1：如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交於點B，點C，經過B，C兩點的拋物線y=x^2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P，點M為拋物線的對稱軸上的一個動點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當點M在x軸的上方時，求三角形ACM周長的最小值.

分析：（1）直線y=-x+3與x軸、y軸分別交於點B，點C，分別令x=0、y=0，求出點B、C的坐標，然後代入拋物線的解析式中，求出b、c的值，從而得到二次函數的解析式。

求二次函數解析式，可以利用待定係數法，有三種方法可供選擇：（1）一般式；（2）頂點式；（3）交點式，主要看題目所給點的特徵，選擇不一樣的方法。

（2）由拋物線的對稱性可得AM=BM，點A（1，0），由三角形CAM周長=CA+AM+CM=根號10+BM+CM，則點B，點M，點C三點共線時，BM+CM有最小值為BC的長，即四邊形COAM周長的最小值=根號10+BC，由勾股定理可求解.

本題求三角形周長的最小值，利用的為將軍飲馬模型，這也是周長最小值中比較簡單的一種類型。

2.相似三角形（轉化法）

例題2：如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（-4，0），（2，0），點C在y軸上，其坐標為（0，-3），拋物線經過點A，B，C．P為第三象限內拋物線上一動點．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）連接AC，過點P作PD⊥AC，PE∥y軸交AC於點E，當△PDE的周長最大時，求P點的坐標和△PDE周長的最大值．

分析：（1）由點A，B的坐標可設拋物線的交點式，再將點C代入即可。

先證△PDE∽△AOC，推出△PDE的周長=PD+PE+DE＝12/5PE，三角形的周長最值轉化為線段最值，求出直線AC的解析式，利用設點法，表示出線段PE的長度，求出PE的最大值，即可寫出點P坐標及△PDE周長的最大值。

利用相似三角形或者銳角三角函數將三角形的周長轉化為某條線段的長度，然後再利用設點法表示出線段的長度，研究線段的最值從而得到三角形周長的最值，這也是求三角形周長最值很常用的一種方法。

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