如何利用二次函數解決平移變換中的最值問題
圖形變換,中考壓軸題中最常見的一種類型。而比較常見的圖形變換無非就三種:平移、旋轉、對稱。
(1)對稱:軸對稱和中心對稱;解題時牢牢抓住對稱軸,相等的線段,相等的角等不變的量是解題的關鍵。
(2)旋轉:常見類型有旋轉60°、90°等特殊角,當然也會出現任意角。解題時切記,從特殊到一般的思想,利用特殊角的方法,找到對應的全等三角形、相似三角形,或者不變的線段,那麼一道壓軸題你將拿下一半的分數。
(3)平移:相對於旋轉,平移的題目簡單不少,但是也不可輕視。因為平移變換中出現的圖像變化太多了,需要運用分類討論的思想,不重不漏地找到變化的類型。
下面,從一道平移的題目出發,分析如何運用二次函數解決平移變換中的最值問題。
例題精選
例題、如圖1,點P為四邊形ABCD所在平面上的點,如果∠PAD=∠PBC,則稱點P為四邊形ABCD關於A、B的等角點,以點C為坐標原點,BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系,點B的橫坐標為﹣6.
(1)如圖2,若A、D兩點的坐標分別為A(﹣6,4)、D(0,4),點P在DC邊上,且點P為四邊形ABCD關於A、B的等角點,則點P的坐標為________;
(2)如圖3,若A、D兩點的坐標分別為A(﹣2,4)、D(0,4).
①若P在DC邊上時,求四邊形ABCD關於A、B的等角點P的坐標;
②在①的條件下,將PB沿x軸向右平移m個單位長度(0<m<6)得到線段P′B′,連接P′D,B′D,試用含m的式子表示P′D^2+B′D^2 , 並求出使P′D^2+B′D^2取得最小值時點P′的坐標;
③如圖4,若點P為四邊形ABCD關於A、B的等角點,且點P坐標為(1,t),求t的值;
④以四邊形ABCD的一邊為邊畫四邊形,所畫的四邊形與四邊形ABCD有公共部分,若在所畫的四邊形內存在一點P,使點P分別是各相鄰兩頂點的等角點,且四對等角都相等,請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標.
【解析】【解答】解:(1)由B點坐標(﹣6,0),A點坐標(﹣6,4)、D點坐標(0,4),可以得出四邊形ABCD為矩形,
∵P在CD邊上,且∠PAD=∠PBC,∠ADP=∠BCP,BC=AD;
∴△ADP≌△BCP,∴CP=DP,∴P點坐標為(0,2);
【分析】
(1)先求得正方形ABCD各頂點的坐標,再由點P的位置及等角點的定義證得△ADP≌△BCP,即證得CP=DP,從而求得點P的坐標;
(2)①通過證△ADP∽△BCP,即可得到對應線段的比例,即可求得點P的坐標;
②先根據平移的性質可設出點B′,P′的坐標,再通過勾股定理用含m的式子表示P′D^2+B′D^2 , 再利用二次函數的圖像特徵可知P′D^2+B′D^2有最小值,同時可求得此時m的值,進而求得點P的值;(利用二次函數的單調性求最值,若題目沒有要求先用m的代數式表示,一定要學會構造二次函數。)
③先確定AP,BP所在三角形,並證明這兩個三角形相似,利用相應的線段比求得t值即可;
④先根據題意判斷滿足條件的四邊形的形狀,即可確定點P的坐標.
參考答案
【考點總結】
本題主要考查坐標與圖形變化:平移,相似三角形的判定與性質,利用二次函數的增減性(單調性)求最值等,屬於中考數學中的綜合運用題型,難度偏大,一般在壓軸題中出現。