二次函數背景下圖形面積問題，是中考數學試卷中的常見題型，在數學學習中佔有重要地位。這類問題歸根結底是坐標系背景下三角形面積的計算問題。進一步又可歸結為已知三個頂點坐標求三角形面積的問題。後者就是解決此類問題的關鍵所在。解決好這個問題就是抓住了解決此類問題的「牛鼻子」。
【預備知識】
三角形面積計算的常用策略
如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標軸平行，計算這樣「規則」的三角形的面積，直接用面積公式
如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標軸平行的，計算這樣「不規則」的三角形的面積，用「割」或「補」的方法
如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等
如圖5，同底三角形的面積比等於高的比
如圖6，同高三角形的面積比等於底的比
【典型問題】
1.（2019揭西縣模擬）如圖，一次函數y＝kx+b的圖象與y軸交於A點，與x軸交於B點，二次函數y＝﹣x2+2x+8的圖象經過A、B兩點．
（1）求一次函數的解析式；
（2）根據圖象直接寫出當x取何值時，kx+b＞﹣x2+2x+8；
（3）點P是拋物線在第一象限上的一個動點，是否存在點P，使△ABP面積最大，若存在，求出此時點P坐標以及△ABP面積，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）先求出二次函數y＝﹣x2+2x+8與y軸、x軸交點A、B的坐標，再用待定係數法求出y＝﹣2x+8；
（2）根據圖象可得當x＜0或x＞4時，kx+b＞﹣x2+2x+8；
（3）過點P作y軸的平行線PQ交AB於點Q，先利用圖象上點的特徵表示出P、Q兩點的坐標，再求出PQ的長，進而表示出△ABP的面積，利用頂點坐標求最值．
∵﹣2＜0，∴當m＝2時，即P點坐標為（2，8）時，S△ABP取得最大值，最大值為8．
【總結反思】
一些幾何圖形題中蘊含著變化著的幾何量。解決此類問題需要觀察分析幾何圖形的特徵，依據相關圖形的性質，找出幾何量之間的關係，進而建立函數關係模型，利用函數的相關性質來討論解決問題。當題目中要求矩形的最大面積時，通常用含有自變量的代數式表示矩形的長與寬，根據矩形的面積公式構造二次函數，再利用二次函數的性質求出面積的最大值。
我們發現在解決幾何中相關面積最值問題，主要是樹立數形結合的思想，由計算圖形面積公式來尋找兩邊長之間的變量關係，利用幾何圖形的性質分別用含 x 的代數式表示出長和寬，求出 y 關於 x 的函數，討論解答。
在這裡P是在第一象限上的一個動點這個條件，有兩個方面的作用：①限制了動點P的活動範圍，進而使得△PAB有最大值；②使得動點P的橫坐標0＜m＜4,進而約束了面積函數關係式自變量取值範圍，這一點極為忽視，在確定要研究問題函數關係式時，一定要考慮自變量的取值範圍。
【規律探究】
1.S△ABP為什麼會有最大值？
【規律應用】
2.（2019黔南州一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0）B（3，0）兩點，與y軸交於點C（0，﹣3）
（1）求出該拋物線的函數關係式及對稱軸
（2）點P是拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為t （0＜t＜3）．當△PCB的面積的最大值時，求點P的坐標
（3）在（1）的條件下，點P在拋物線上，點Q在拋物線的對稱軸上，若以BC為邊，以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求P點的坐標．
【解析】（1）設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將C（0，﹣3）代入求出a即可求得拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
對稱軸為直線x＝1；
（2）易求C(0,-3),B(3,0)結合上述探究出的規律，先確定出△PCB的面積的最大值時點P的坐標的橫坐標為C,B兩點橫坐標的中點橫坐標，易求 (0+3)/2=3/2,代人拋物線解析式易求得P的縱坐標為-15/4, 所以P（3/2,-15/4）
（3）設Q（1，n）），分兩種情況討論①當PQ、PC為平行四邊形的對角線時，②當CQ、BP為平行四邊形的對角線時．綜上所述，可求得以BC為邊，以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，可求得P點的坐標（4，5），（﹣2，5）．
3. （2019岐山縣二模）如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸於點A、B．拋物線過A、B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸於點C，交拋物線於點D．
（1）如圖1，設拋物線頂點為M，且M的坐標是（1/2，9/2），對稱軸交AB於點N．
①求拋物線的解析式；
②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？並說明理由；
（2）是否存在這樣的點D，使得四邊形BOAD的面積最大？若存在，求出此時點D的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）①由一次函數圖象上點的坐標特徵求得點B的坐標，設拋物線解析式為y＝a（x﹣1/2）2+9/2，把點B的坐標代入求得a的值即，可求該拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+2x+4；
②不存在點P，使四邊形MNPD為菱形．設點P的坐標是（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），根據題意知PD∥MN，所以當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，根據該等量關系列出方程﹣2m2+4m＝3/2，通過解方程求得m的值，易得點N、P的坐標，然後推知PN＝MN是否成立即可；
（2）常規思路：設點D的坐標是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根據S四邊形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，則當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．根據三角形的面積公式得到函數S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函數的性質求得最值．當n＝1時，S△ABD取得最大值2，S四邊形BOAD有最大值．此時點D的坐標是（1，4）．
沒有比較就沒有傷害，探究這一規律最起碼可以結論功效。利用上述探究出規律，很快進入解題狀態，當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．由拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+2x+4易求A(2,0),B(0,4)，易求出D點橫坐標為（2+0）/2=1，代入y＝﹣2x2+2x+4易求出D點縱坐標為4，即可得D(1,4).
4.（2019海口模擬）如圖，對稱軸為直線x＝1的拋物線經過A（﹣1，0）、C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為B，點D在y軸上，且OB＝3OD
（1）求該拋物線的表達式；
（2）設該拋物線上的一個動點P的橫坐標為t
①當0＜t＜3時，求四邊形CDBP的面積S與t的函數關係式，並求出S的最大值；
②點Q在直線BC上，若以CD為邊，點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點P的坐標．
總之，對於二次函數背景下一類面積最值問題，常規思路：過點P做輔助線，然後利用相關性質，找出各元素之間的關係。設動點P的坐標，然後找出各線段的代數式，再通過面積計算公式，得出二次函數頂點式，求出三角形面積的最大值。而利用探究出規律求解，很容易求解動點坐標所處什麼位置時，圖形面積取得最值，從而快速確定結果。