初三數學,怎麼求拋物線上動點運動的最短路徑?這題很多同學失分

2021-01-21 陳老師初中數理化

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在拋物線上求解動點構成的線段和的最小值是中考數學的常考題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題思路，希望能給初三學生的期末考試複習帶來幫助。

例題

如圖，拋物線y=1/2x^2-4x+4與y軸交於點A，B是OA的中點，一個動點G從點B出發，先經過x軸上的點M，再經過拋物線對稱軸上的點N，然後返回到點A，如果動點G走過的路程最短，請找出點M，N的位置，並求最短路程。

解題過程：

設點A關於拋物線對稱軸的對稱點為A'，點B關於x軸的對稱點為B'

根據題目中的條件：拋物線y=1/2x^2-4x+4，則點A的坐標為（0,4），拋物線的對稱軸為x=4；

根據題目中的條件和結論：點A的坐標（0,4），B是OA的中點，則點B的坐標為（0,2）；

根據結論：點A的坐標（0,4），點A、A'關於拋物線對稱軸x=4對稱，則點A'的坐標為（8,4）；

根據結論：點B的坐標（0,2），點B、B'關於x軸對稱，則點B'的坐標為（0,-2）；

連接B'M、A'N

根據軸對稱性質和題目中的條件：點A、A'關於拋物線對稱軸x=4對稱，點B、B'關於x軸對稱，則AN=A'N，BM=B'M；

根據題目中的條件和結論：動點G走過的路程=BM+MN+AN，AN=A'N，BM=B'M，則動點G走過的路程=B'M+MN+A'N；

所以，當點B'、M、N、A四點在一條直線上時，動點G走過的路程最短，最短路程=A'B'；

設直線A'B'的解析式為y=kx+b

根據題目中的條件和結論：點A'的坐標（8,4），點B'的坐標（0,-2），直線A'B'的解析式為y=kx+b，則k=3/4，b=-2；

所以，直線A'B'的解析式為y=3/4x-2；

根據結論：直線A'B'的解析式為y=3/4x-2，則當y=0時，x=8/3，當x=4時，y=1，即點M的坐標為（8/3,0），點N的坐標為（4,1）；

根據結論：點A的坐標（0,4），點A'的坐標（8,4），點B'的坐標（0,-2），則AA'=8，AB'=6；

根據勾股定理和結論：AA'=8，AB'=6，A'B'^2=AA'^2+AB'^2，則A'B'=10；

所以，動點G走過的路程最短為10，此時點M的坐標為（8/3,0），點N的坐標為（4,1）。

結語

解決本題的關鍵是利用二次函數圖像和平面直角坐標系的軸對稱性，構造出點A和點B的軸對稱點，利用軸對稱圖形對應線段的等量關係，將部分線段進行等量替換，從而判斷出四點一線時取到線段長度和的最值，再設定一次函數的解析式，利用特殊點坐標代入求解，就可以輕鬆求得題目需要的值。

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