初三數學:怎麼求拋物線上動點構成的面積最值?掌握這方法很管用...

2021-01-09 陳老師初中數理化

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在二次函數的圖像上求解構成面積最大值的動點問題是數學中考的常考題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題思路，希望能給初三學生的數學複習帶來幫助。

例題

如圖，拋物線y=ax^2+bx+c(a>0,c<0)交x軸於點A，B，交y軸於點C，設過A,B,C三點的圓與y軸的另一個交點為D，已知點A,B,C的坐標分別為（-2,0)，(8,0)，(0,-4)。

（1）求此拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）若點M為拋物線上一動點，且位於第四象限，求△BMD面積的最大值。

1、拋物線的解析式及點D的坐標

根據題目中的條件：拋物線y=ax^2+bx+c經過點（-2,0)，(8,0)，(0,-4)，則a=1/4，b=-3/2，c=-4；

所以，拋物線的解析式為y=1/4x^2-3/2x-4。

根據題目中的條件：點A,B,C的坐標分別為（-2,0)，(8,0)，(0,-4)，則OA=2，OB=8，OC=4；

根據勾股定理和結論：OA=2，OB=8，OC=4，則AC^2=20，BC^2=80，AB=OA+OB=10，即AC^2+BC^2=AB^2；

所以，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°。

根據圓周角定理和結論：∠ACB=90°，點A,B,C在圓上，則AB為圓的直徑；

根據垂徑定理和結論：AB為圓的直徑，AB⊥CD，OC=4，則OD=OC=4；

根據結論：OD=4，則點D的坐標為（0,4)。

2、求△BMD面積的最大值

過點M作ME⊥x軸於點F，交BD於點E

設點M的坐標為（m，1/4m^2-3/2m-4），直線BD的解析式為y=kx+b

根據題目中的條件和結論：直線BD：y=kx+b經過點B、D，B(8,0)，D(0,4)，則k=-1/2，b=4；

所以，直線BD的解析式為y=-1/2x+4；

根據題目中的條件：ME⊥x軸，直線BD的解析式為y=-1/2x+4，M(m，1/4m^2-3/2m-4)，則點E的坐標為(m,-1/2m+4)；

根據結論：M(m，1/4m^2-3/2m-4)，E(m,-1/2m+4)，則ME=-1/4m^2+m+8；

根據三角形面積公式和結論：S△DEM=ME*OF/2，S△BEM=ME*BF/2，則S△BDM=ME*(OF+BF)/2=ME*OB/2；

根據結論：ME=-1/4m^2+m+8，OB=8，S△BDM=ME*OB/2，則S△BDM=-m^2+4m+32=-(m-2)^2+36；

所以，當m=2時，S△BDM取到最大值36。

結語

解決本題的關鍵是根據勾股定理證明到圓的直徑，根據垂徑定理求得點的坐標，再添加輔助線把三角形面積進行分割，用動點的坐標表示出三角形的底和高，利用二次函數求最值的方法就可以求得題目需要的面積最大值。

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