初三數學:怎麼求函數圖像上的動點運動軌跡?掌握這方法快速求解

2020-12-02 陳老師初中數理化

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求解反比例函數的動點問題是數學中考的常考題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題方法，希望能給初三學生的數學複習帶來幫助。

例題

如圖，在反比例函數y=-2/x的圖像上有一動點A，連接AO並延長交圖像的另一支於點B，在第一象限內有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數y=k/x的圖像上運動，若tan∠CAB=2，求k的值。

解題過程：

連接CO，過點A作AE⊥x軸於點E，過點C作CF⊥x軸於點F

設點A的坐標為(a,-2/a)

根據反比例函數的對稱性和題目中的條件：點A、B在反比例函數y=-2/x的圖像上，AB經過點O，則AO=BO；

根據三線合一性質和結論：AC=BC，AO=BO，則CO⊥AB，即∠AOC=90°；

根據題目中的條件：AE⊥x軸，CF⊥x軸，則∠AEO=∠CFO=90°；

根據結論：∠AOC=90°，∠CFO=90°，則∠COF+∠AOE=90°，∠COF+∠OCF=90°，即∠AOE=∠OCF；

根據相似三角形的判定和結論：∠AOE=∠OCF，∠AEO=∠CFO，則△AOE∽△OCF；

根據相似三角形的性質和結論：△AOE∽△OCF，則AO/OC=OE/CF=AE/OF；

根據題目中的條件：tan∠CAB=2，tan∠CAB=OC/AO，則OC/AO=2；

根據結論：AO/OC=OE/CF=AE/OF，OC/AO=2，則CF/OE=OF/AE=2，即CF=2OE，OF=2AE；

根據題目中的條件：點A的坐標為(a,-2/a)，則AE=-2/a，OE=-a；

根據結論：CF=2OE，OF=2AE，AE=-2/a，OE=-a，則OF=-4/a，CF=-2a；

根據結論：OF=-4/a，CF=-2a，則點C的坐標為(-4/a,-2a)；

根據題目中的條件和結論：點C在函數y=k/x的圖像上，C(-4/a,-2a)，則k=8。

結語

解決本題的關鍵是利用反比例函數的對稱性和條件給出的線段間等量關係，添加輔助線構造出等腰三角形，根據三線合一性質，得到線段間的垂直關係，利用角度間的數量關係證明到一組相似三角形，根據相似性質得到線段間的比例關係，再根據線段長度與點坐標之間的關係，就可以求得函數圖像上的點坐標，進而求得函數解析式。

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