1. 問題說明
提示：無論是畫圖、識圖還是用圖，都要涉及到函數的概念、解析式及其各種性質等，所以本文的『函數圖像』問題會涉及到其它函數相關的基本問題，因而具有綜合特性。但是，函數圖像本身具有一些共性的特徵，除了是高考的一類常見題型外，還是一個獲得問題的結果的重要工具、一種探求解題思路與方法的重要途徑，使其被廣泛地應用於很多問題(或題型)的求解過程中。所以，這裡把它單獨看成一個基礎應用，以研究與函數圖像有關的問題及其一般解法。
函數圖像具有綜合性強、思維要求高特點，突出了對聯繫與轉化、分類與整合、數與形結合等重要數學思想的能力的要求。
與函數圖像相關的問題一般是從作圖、識圖、用圖三個方面來考查。考查方式比較靈活，涉及的知識點比較多，且每年均可能有創新。
實際考試中，一般涉及函數圖像的問題有以下三種方式：
① 在與函數性質相關問題的求解過程中使用圖像，體現數形結合思想；
② 給出一個較複雜的圖像，求解析式，或已知較複雜的解析式，求圖像；
③ 根據函數圖像，識別或判斷其特徵信息。
2. 解決問題的一般方法
1) 作圖方法
① 描點法
a) 列表（一般取自變量的一些特殊值）
b) 描點（注意關鍵點：如圖像與x、y軸的交點，端點，極值點等）
c) 連線（注意關鍵線：如對稱軸，漸近線等）
② 變換法（利用基本初等函數圖像進行變換得到）
利用平移、對稱、翻折和伸縮等變換方法，從一個圖像可便捷地得到另一個圖像。
③ 作圖步驟
a) 求出函數的定義域；
b) 化簡函數式；
c) 分析函數的性質（如奇偶性、周期性、單調性）以及圖像上的特殊點、線（如極值點、漸近線、對稱軸等）；
d) 利用描點法、變換法等來作圖
2) 由解析式判定函數的圖像，一般從以下幾方面進行：
① 從函數的定義域，判斷圖像左右的位置；
② 從函數的值域，判斷圖像的上下位置；
③ 從函數的單調性，判斷圖像的變化趨勢；
④ 從函數的奇偶性，判斷圖像的對稱性；
⑤ 從函數的周期性，判斷圖像的循環性。
利用上述方法，排除、篩選錯誤或正確的選項。如果不是標準函數，可通過其特性及特殊點判斷。
提示：在求解函數圖像選填題時，考慮到考試的時限性，一般從已知選項之間的特徵差異入手比較快捷。
3) 數形結合思想
在很多函數相關問題中，可以利用函數圖像來直接或輔助求解。
4) 由實際情景探究函數圖像
關鍵是將生活問題轉化為我們熟悉的數學問題來求解。同時，要注意實際問題中可能的定義域約束。
3. 典型例題
例1 已知函數f（x）的定義域為[a，b]，函數y=f（x）的圖像如下圖所示，則函數f（|x|）的圖像是()。
解：∵y=f（|x|）為偶函數，
∴y=f（|x|）的圖像是由y=f（x）的x＞0部分圖像，及其關於y軸對稱的圖像（即x＜0部分的圖像)組成，
故選B。
講解：
① 理解函數f(|x|)的對稱性質是解答本題的關鍵。
② 提示：f(|x|)和|f(x)|的區分是一個易錯點——翻折軸一個是x軸，一個是y軸。
例2 如圖所示，一個質點P(x，y)在xOy平面上沿曲線運動，速度大小不變，其在x軸上的投影點Q(x，0)的運動速度V=V(t)的圖像大致為()。
解：由圖可知，當質點P（x，y）在兩個封閉曲線上運動時，投影點Q（x，0）的速度先由正到0，到負數，再到0，到正，故A錯誤；
質點P(x，y)在終點附近的速度是由大到小而非由小到大，故D錯誤；
質點P（x，y）在開始時沿直線運動，故投影點Q（x，0）的速度為常數，因此C是錯誤的，
故選B．
講解：
① 本題為函數圖像的實際應用示例。抓住圖像各個特徵點是解答函數圖像問題的關鍵！
② 對於類似於本題圖像的試題，一般常用排除法——根據圖像特徵、函數性質等逐個進行排除。
例3作出y=|log2(x+1)|+2的圖像。
解：依題意，
① 先作出y=log2^x的圖像，
② 將y=log2^x的圖像向左平移1個單位，得到y=log2^（x+1）圖像，
③ 將y=log2^（x+1）的圖像的x軸以下部分翻折到x軸上方，得 y=|log2^（x+1）|的圖像，
④ 最後將y=|log2^（x+1）|的圖像上移兩個單位，即得所求y=|log2^（x+1）|+2的圖像。
講解：
① 本題示例了利用圖像變換法作圖的步驟及其便捷性。
例4若直線y=2a與函數y=|a^x-1|（a＞0且a≠1）的圖像有兩個公共點，求a的取值範圍。
解：當0＜a＜1時，y=|a^x-1|的圖像如圖（1）所示，
由已知得0＜2a＜1，
∴0＜a＜1/2
當a＞1時，y=| a^x -1|的圖像如圖（2）所示，
由已知可得0＜2a＜1，
∴0＜a＜1/2，與a＞1矛盾，故a∈，
綜上可知，0＜a＜1/2。
講解：
① 本題示例了利用函數圖像求解函數相關問題的思路（多見於數形結合法）。
溫馨提示：本文為高中數學必修1第15講。關注百家號「輕快學習課堂」，可便捷地查閱已發表的文章。