1. 基本問題說明
立體幾何中，有些題中已知幾何體的外接球和/或內切球（包括變式：球內幾個點圍成的幾何體），而且涉及的球可能不止一個，這些球之間或者相互外切、或者相互內切、或者組成某種結構與形狀（如對稱），然後求解或計算其有關的幾何量。
這就是立體幾何中常見的基本問題之一，幾何體的"外接球與內切球"的計算問題。
2. 解決基本問題的一般方法
1) 抓住「接」和「切」的關鍵特徵
a) 外接球
外接球關鍵特徵為外「接」。因此，各「接」點到球心距離相等且等於半徑，解題時無論構造圖形還是計算都要對此善加利用。
b) 內切球
內切球關鍵特徵為內「切」。因此，各「切」點到球心距離相等且等於半徑，且與球心的連線垂直切面，解題時無論構造圖形還是計算都要對此善加利用。
2) 抓住「中心位置」的特性
在這類題中，組合體的中心常常因組合體的某些性質（如對稱性）而位於一些特殊位置（如圓心、中心重合），因而很多時候確定中心位置對解題具有非常重要的作用。一般方法為：
a) 確定中心位置, 一般為解題的關鍵第一步
當為外接球、或只有一個內切球時，組合體的中心就是球心；當內切球不止一個，且兩兩相切時，可根據對稱性、外接球的內接面的中心垂線等特性來確定中心位置。
b) 構建幾何圖形，一般為解題的關鍵第二步（然後只需計算基本量並代入公式求解了）
基於中心位置和球心（不與中心重合時），並結合外接點或內切點，構建可方便地用來輔助計算的幾何圖形——最終目標多為直角三角形。這是求解這類問題的要領與技巧。
舉例——正四面體的外接球和內切球
此時可直接利用相關幾何性質求解（如圖），可得到內切球和外接球的半徑分別為h/4和3h/4，其中h=AO1。
提示1：可記住該中間結論「正四面體外接球與內切球半徑之比為3 : 1」——有助於提高求解選填題的速度。
提示2：可類比記憶和推導上述中間結論。正三角形的中心（外接圓與內切圓的圓心）把正三角形分成三等份，由此可知每一等份的面積為整個三角形面積的1/3，也即二者的高之比為1/3，所以正三角形的外接圓與內切圓的半徑之比為2:1。由此，平面正三角形類比到立體的正四面體（即維度+1，類比的結論也+1），正四面體的中心（外接球與內切球的圓心）把正四面體分成4等份，由此可知每一等份的體積為整個正四面體體積的1/4，也二者的高之比為1/4，所以正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3:1。
3) 割補法（實用技巧）
當處理某些特殊幾何體的外接球時，如果中心或圓心不方便定位，可考慮將其補全為正方體或長方體，這樣球的中心就與正方體或長方體中心重合了（這是本質所在），使待求解問題有關的輔助圖形構造、計算和理解都會因此變得便捷得多。如正四面體（第一圖）、正八面體（第二圖）、對稜相等的四面體（第三圖，正四面體為其特例）、各稜於頂點處相互垂直的四面體（稜長相等或不等均可——其頂點即為長方體或正方體的一個頂點，圖略）等。部分示意圖如下：
4) 確定球心的一種通用方法——球的「垂徑定理」（類比於圓的垂徑定理而命名）
a) 球的「垂徑定理」
球心與任一截面圓心的連線垂直於截面；反之，任一截面通過圓心的垂線穿過球心。
b) 確定球心的一種通用方法
根據以上性質，首先找幾何體的一個內接面的外接圓的圓心，通過圓心且垂直於該平面的直線一定穿過球心，同理，可找到一條垂直於另一內接面的外接圓的圓心的直線；則兩直線交點即為球心。例如：
底面ＢＣＤＥ外接圓的圓心為對角線的交點，過O1作垂線，球心在其垂線上；平面ＡＢＣ外接圓的圓心為其外心，由於是正三角形，也是重心O２，過圓心的垂線穿過球心；故球心在兩條垂線的交點上。
3. 典型例題
例1 （1）正方體的內切球與其外接球的體積之比為______．
（2）一個四面體的所有稜長都是√2，四個頂點在同一個球面上，則此球的表面積為______．
講解：
無論是理解和抓住幾何體外接球與內切球的關鍵要素——中心、對稱性等，還是具體的解答過程，說到根上都離不開對有關幾何體或幾何圖形的特徵、性質等基礎知識的透徹理解和靈活運用。
例2 在正三稜錐S—ABC中，側稜SC⊥側面SAB，側稜SC = 2√3，則此正三稜錐的外接球的表面積為___。
解：正三稜錐S—ABC中，由SC⊥側面SAB，可知：
（提示：理解「正」字意味著哪些性質是關鍵。）
解：如圖。此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以:
故選A．
講解：
一般思路：設正八面體的邊長，利用表面積，求出邊長；然後利用割補法求球的直徑，最後即可求得體積。本題對學生的空間想像能力、邏輯思維能力、以及正八面體特徵與性質及其與正方體之間的(位置)關係等基礎知識的要求較高，需要具備紮實的基礎。因此本題具有一定難度，屬中檔題目。．例4 已知一三稜錐對稜相等,稜長分別為2, 3, 4，求該三稜錐外接球體積。
解：如圖。構造一個長方體 ABCD-A'B'C'D'，使AC = 2，AB'= 3，AD' = 4 ；
則三稜錐 AB'CD' 正好滿足對稜相等,稜長分別為 2,3,4 ，而該三稜錐的外接球即為長方體的外接球；
由勾股定理可得：
AB+AD = AB+BC = AC = 4 ,
AB+AA' = AB' = 9 ,
AD+AA' = AD' = 16 ,
三式相加除以2,可得：AB+AD+AA' = 29/2 ；
講解：
提示：前3個例題都將待求幾何體看成正方體的一部分，然後通過正方體來便捷地求解。這是一個常用方法與技巧——割補法，體現了數學的轉化與整體思想。
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