摘要：函數的零點是函數的重要性質，實質上反映了函數與方程的關係，體現了數學結合思想，是高考的熱點之一。本文重點分析和研究利用數形結合思想求解函數零點(分布)及其個數相關問題的一般解法與技巧。
1. 基本問題說明
函數零點及其個數的相關問題包括：根據題設中函數概念、性質等已知條件，求解函數的零點、判定函數整個定義或或某個區間內零點的個數、判定函數零點所在區間(範圍)等；或者根據已知的函數零點及其個數有關條件，逆向求解函數相關問題，如參數問題。
這類問題屬於考查的重點。當題目是以三次函數或超越函數方式出現時，一般都有一定難度。
提示：一元二次函數根的分布將作為一個獨立問題在後文進行論述。
2. 解決問題的一般方法
1) 判定函數零點所在區間(範圍)
由零點存在性定理：
① 如果f(x)在區間(a,b)內連續，且f(a)f(b) < 0，則至少有一個根；逆推，不一定成立！只有單調時才能逆推！
② 判定「零點在某區間(a,b)的個數是唯一」的方法
a) f(x)在區間(a,b)上連續，且f(a)f(b) < 0;
b) 在區間(a,b)上單調。
2) 判定函數零點個數
① 解方程法
當f(x)=0的根易求解時適用。
所求得f(x)=0的根即為所求零點。
提示：x^2+2x+1=0有兩個等根，但y=x^2+2x+1隻有一個零點——既要知道方程與函數的聯繫，也要知道二者概念上的差別。
② 導數法
當f(x)=0的根不易求解或無法求解時適用。一般方法為：
a) 需要時，先把方程問題轉化為函數零點問題；
b) 然後藉助導數來確定函數的單調區間；
c) 每個單調區間上最多有一個零點，所以可以通過判斷每一個單調區間端點值的符號，來判斷這個區間上有沒有零點
i. 符號相反時，有一個零點；
ii. 均為正值或負值時，沒有零點；
iii. 如果有一個端點值為0，要看實際題意，例如開、閉區間。
③ 圖像法
當f(x)=0的根不易求解或無法求解時適用。
a) 通過圖像，判斷與x軸的交點個數。此時不用解出具體值，只需分析與判斷圖像趨勢或走向。但不要忘記分析『增速不同的兩根相交曲線』再次相交的可能性。
舉例並思考：y=2^x和y=x^2，有幾個交點？為什麼？
如圖。在交點2的右側，f(x)=x^2的斜率大於f(x)=2^x的斜率，但在交點3的右側，二者的斜率大小關係逆轉，此為交點2之後還存在交點3的原因所在。
b) 複雜函數（如超越函數）的圖難以畫出時，可以把其零點問題轉換為『兩個簡單函數的交點問題』——即兩個簡單函數在某點的值相等時，即存在零點。
3. 典型例題
例1函數f(x)=2x^3-3x+1零點的個數為___；
例2求函數f(x)=log2^x + 2^x - 7的零點個數，並寫出它的一個大致區間。
講解：
① 本題是與零點個數相關問題的基礎題。
由於已知函數屬為超越函數，所以將其轉化為基本初等函數的交點問題——這是此情形下的常見處理技巧。
② 基於函數單調性判斷其零點個數及其大致區間分布，是此類問題的求解一般方法。
例3已知函數f（x）=x-lnx，若關於x的方程f(x)+2x = x2+b在[1/2,2]上恰有兩不相等的實根,求實數b的範圍
例4函數f(x)=lnx+2x-6的零點一定位於區間（ ）
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5).
解：函數 在上的圖像是連續的，
（提示：留意此題的求解方法——賦值法, 在選填題中時有奇效）
∵f(1)=-4<0, f(2)=ln2-2<0，
f(3)=ln3>0, f(4)>0，f(5)>0，
∴f(2)f(3)<0,即函數f(x)的零點在區間內，
故選B。
例5已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數，若函數f（x）= [x]/x-a（x＞0）有且僅有3個零點，則實數a的取值範圍是____。
講解：
① 本題是與零點個數問題相關的題型。
本題在求解時，先要結合函數的單調性得到[x]可以取值的範圍，進而得到a的範圍。本題難度較大，同學不易找到入手點。
② 本題[x]是新定義的概念，理解其意義和本質是解題的關鍵。
③ 本題解題過程不易理解（要求較強的分析和推理能力），也可以換個簡捷方法來理解和解答 - 數形結合思想：
方程[x]/x=a有三個實數根，即要求[x] = ax有三個實數根——這樣就將不易看清的原函數的零點關係轉化為兩個簡單函數模型的交點關係——這也是零點問題的常用方法或思路之一；
其中y=[x]是階梯狀分段函數，y=ax要與之有且有三個交點的斜率a的範圍就是本題所要求的——即下圖藍紅直線斜率之間的範圍。
溫馨提示：關注本號「輕快學習課程」只需兩步：先裝百度App（已裝就略過此步驟）；再依次點擊頂部的「關注」和「輕快學習課程」按鈕，就可以進入主頁查閱所需文章了。
溫馨提示：下表為高中數學「集合與函數」模塊所有文章的全景圖，本文為第21講。這些自成體系的課程文章，為你提供一種免費、系統化、輕快的學習/補習方式。