高考數學,含有參數的函數考點及其解題技巧

高考數學，含有參數的函數考點及其解題技巧

1 定義

很多學生學了高中數學三年分不清參數和變量，咱們教你一個簡單方法區分參數和變量。首先看函數是關於誰的，則該函數的自變量就是誰，而剩下的那些個關於變量的係數的字母和常數項的字母就都是參數。

圖1

參數沒有任何取值範圍的限制，你設定其為1，則只是參數的一個具體化，並不能代表原來的函數，即咱們平時所說的變量的特殊化。

例題:f(x)=ax+b找出其自變量和參數。

變量為x，參數為a和b，當參數a為0時，此時為一個常數函數，與x無關的常數函數，當參數a和b同時為0時，其表示的為f(x)=0即表示的是y軸。其他情況下其代表的為直線，至於其經過哪幾個象限的直線，要看a和b的正負情況進行討論。

圖2

例題2：f(a)=ax+3找出其自變量和參數。

此函數是關於a的函數，因此a為自變量。參數為x。當含有的參數部分為0時，該函數一定能求出來相關的定點。如該例題2中給出的函數一定經過的點為(0,3)，當參數的係數a為0時，0乘以參數得0，無論參數是誰其與0的成績都是0，因此其經過定點（0，3）。

圖3

2 考點

a 函數的定點問題

高考一般不是直接讓求函數的定點，而是給出含有參數的函數，需要數形結合進行相關的求解時，你需要能夠計算出函數一定經過的點，然後進行草圖的描繪。

圖4

b 函數的值域問題

含有參數的值域問題的考察基本上分為兩種情況，一種是簡單的含有參數的函數的值域問題，另一種是比較複雜的分段函數的值域問題。

c 參數的取值範圍

這類問題是高考中必考的問題，經常是結合直線與橢圓和圓等相關的知識點進行考察。

橢圓與直線

3 解題技巧

a 函數定點問題的解法：

1 因式分解提取參數的係數

2 參數的係數設為0，解方程

3 求出相應的值為常數則有定點，否則沒有定點

例題1：f(x)=mx+2m其是否過定點，是請求出其定點，沒有定點請說明理由。

直線

解：1 m=0時，其為常數函數，表示的是y軸這條直線

2m不為0時， 提取參數的係數：f(x)=(x+2)m

3 x+2=0解得x=-2

4 定點為（-2，0）當m不為0的時候。

b 值域問題

1 常見基本初等函數

直接按照常見的基本初等函數進行相關的值域的求解即可。參數問題分情況進行討論，這個問題我們上次課程已說過，不再贅述。

反比例函數

例題2：f(x)=kx+b，當x屬於[3,5]時，函數的值域為[7,8]求函數的表達式。

分情況討論k的正負，利用單調性進行求解。

1 k>0（函數單調遞增）

f(3)=7

f(5)=8

解方程組即可，如果k求出的值為負數，該解就捨棄。

參考答案：k=1/2，b=11/2。

2 k<0 (函數單調遞減）

f(3)=8

f(5)=7

如果k求出為正數該解捨去。

直線方程

參考答案：k=-1/2，b=19/2。

無論多麼難的問題都這麼細分進行求解即可，時間問題，不再一一列舉。

2 非基本初等函數

求導函數，假定參數的範圍進行相關函數的單調性的判斷求其相應的值域即可。

3 數形結合

部分係數已知，部分係數未知，但是函數有定點，畫草圖進行值域的求解即可。

含有參數的二次函數

c 參數取值範圍求解技巧

求什麼就要列什麼，求參數的取值範圍，要充分利用已知條件，將函數變量替換為關於參數的不等式方程進行相關的求解即可。

理論知識講到這裡就講完了，還得實踐，具體內容見我們的習題課了！

布置一道習題，2018年高考數學習題：

習題

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