如何利用導數求含有參數的函數的零點個數,高中數學疑難答疑

如何利用導數求含有參數的函數的零點個數，高中數學疑難答疑精選。

昨天晚上試行開放疑難答疑的信息發出後，這是第一位提出數學疑問的學生，從他（她）提出的問題來看，應該是一位高三學生，問題提得很好，這個問題也是高考數學考察的熱點，所以我毫不猶豫地決定答疑這位同學。

大家有什麼疑問儘管提出來，如果你的問題問得好又具有普遍性，我一定會抽時間答疑，如果你的問題沒有得到我的答疑，也不要喪氣，可能問題太多了，我顧不過來，你可以經常到菜單處看看分好類的課程專題及疑問答疑，在那裡你可以學到很多知識。

求函數零點的個數問題，不管函數表達式中有沒有參數，其總體的解題思路都一樣，不同的是，含有參數時，由於參數的取值不確定，一般要分類討論，但只要嚴格按照通用的求零點個數的解題思路去做，不會遇到太大的困難。

求函數零點個數的通用解題思路：先利用導數求出f(x)的所有單調區間，然後分別判斷每一個單調區間的兩個端點處的函數值的符號，如果符號相反，則函數在這個單調區間上有一個零點，如果同正或同負，則函數在這個單調區間上沒有零點。

一般情況都是按照這個解題思路來，但也不絕對，有些較難的題目不能一上來就求單調區間，具體問題還要具體分析，但不管如何，最終還是要按照這個思路進行。

下面咱們通過一道例題來感受一下。

首先利用導數的知識求出函數f(x)的單調區間，這個沒什麼難度，過程如下：

單調區間求出來了，共2個，接下來要分別判斷每一個單調區間的兩個端點處函數值的符號。從上面的單調區間可以看出，函數有最小值，這個是關鍵因素。不管函數有最大值還是最小值，都要先求出來，我不講為什麼，往下看，你就會明白。

函數只有這一個最值且是一個最小值，這個最小值同時是兩個單調區間的端點處的函數值，所以要判斷它的符號。最小值中含有參數a，當a分別＜0、＝0和＞0時，其符號不同，所以要分這三種情況進行討論。下面討論第一種情況：a＜0時。

接著討論第二種情況：a＝0時。為了方便大家更好地學習數學，我在功眾號「愛做數學題」中把所有發布的課程和專題按照課本順序進行了分類整理。情況(2)，a＝0時，f(x)最小值等於0，因為只有這一個最小值，所以f(x)不可能在別處存在零點，故只有這一個零點。

最後討論第三種情況：a＞0時。這種情況有點兒難度。函數f(x)有兩個單調區間，共3個端點：從左到右依次為：－∞、a＋1和＋∞，下面分別判斷這三處的函數值的符號。前兩處好判斷，如下：

判斷第三處的函數值符號有難度。當x趨向於＋∞時，我們根據函數增長的快慢速度可以分析出函數值是大於0的，但一般不能這麼書寫過程，這種情況常使用特殊值法，即在對應增區間(a＋1,＋∞)上取一個儘可能大的特殊值，只要在這個特殊值處的函數值大於0，即可得出x趨向於＋∞時，f(x)大於0。這個特殊值要靠一點兒經驗來取，我取的是3a＋3，當然可以更大一些。

不要忘了，最後來個綜上，完美！

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