高中數學易錯點、重難點系列之:7個方法讓你輕鬆求解函數值域

函數值域專題

大家好，我是青蒿數學宋老師，今天分享的內容是關於必修一函數三要素之——值域的求解方法。

函數求值域算是高中數學最重要的內容了，其求解方法也是多種多樣，從高一到高三都在不斷接觸新的求解方法，雜七雜八的下來有十幾種方法，要是能熟練掌握，高中數學應該也掌握得差不多啦，但是考慮到篇幅所限以及高一同學的接受，今天宋老師就教你如何輕鬆理解並掌握函數值域的七種常見的求解方法。

7種函數值域求解方法

前面函數定義的專題提到過值域，今天再來明確一下值域的概念：

值域是指因變量y的取值範圍，也是函數圖象在y軸上的投影，因此我們經常藉助函數的圖象來數形結合的求解值域問題。

下面就分別來講解一下7種常見的方法：

1. 觀察法：

對於比較簡單的函數，可以通過x的取值範圍結合函數的圖象來簡單的推測或者觀察出。

對此不多作說明，直接上例題：

2. 二次函數求值域：

二次函數的值域問題是重點，其求解方法主要分為兩種，一是配方法，二是圖象法。

比較推薦圖象法，只需簡單畫出二次函數的開口方向以及對稱軸的位置即可，以開口朝上的二次函數為例，距離對稱軸的距離越遠，則函數值越大。因此，關鍵點在於「確定對稱軸與所給定義域的位置關係」。

上例題：

3. 一次分式型函數——分離常數法：

分離常數法是高中階段常用的技巧，需要熟練掌握哦！

一次分式型函數實際上是對反比例函數的圖象做了平移，因此在解題的過程中需要用到分離常數的技巧。

在實際的教學中發現很多學生對這個技巧掌握得半生不熟，下面宋老師就一個例題來細緻地說一下操作步驟：

易錯點有兩個：一是反比例函數的原型別找錯，二是橫向平移的單位別搞錯，務必考慮

的係數影響！

從以上過程來看，分離常數法對求取一次分式型函數的值域還是比較繁瑣的，但研究函數的圖象是高中階段的一個基本功，在其他題型中也會用到，因此還是需要熟練掌握的。

若是僅僅是求取值域，宋老師教大家另外一個簡單的方法：端點帶入結合極限分析法！

極限分析法也是高中階段比較常用的秒殺方法，所謂的極限分析法，主要用到下面的幾點內容：

因此對於上面的例題就可以利用端點帶入結合極限分析迅速得到答案，如下圖

4. 換元法求值域：

換元法有很多，這裡所說的換元法主要是指局部換元法，是指把函數式的一部分進行換元後，從而把不熟悉的函數類型轉化為熟悉的函數類型。

用換元法時，務必注意換元後字母的取值範圍。

上例題！

5. 單調性法求值域：

若一個函數有單調性，則可以利用其單調性來求解值域，只需把定義域的端點帶入分析即可。

6. 複合函數求值域——「層層扒皮法」：

對於較為簡單的複合函數求值域，可以採用設中間變量的方式進行「換元」，將其拆解為兩個熟悉的函數，然後進行逐層分析，戲稱為「層層扒皮法」。

其中，不要忽略定義域問題，具體操作見下面例題：

7. 二次分式型函數——「判別式法」：

但需要說明的是，這種方法的局限性很強，要求無其他人為的定義域限制，且分子分母中不存在公因式，因此在實際中應用的較少，而是用其他的替代方法。

之所以還要給大家介紹這種方法，是希望大家能夠借鑑這種方法背後的解題思想——轉化與化歸思想，這在其他類型的題目中經常用到。

以例題為例：

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