本次內容是前兩次所談「一次函次」的結尾部分，涉及的知識偏向中考部分，對初學者有一定的難度。或是編寫水平有限，或是篇幅所限，或是初學者不適應，無論哪一種原因，如果您有看不明白之處，請及時查閱相關資料，徹底搞清搞明一次函數的相關內容。
九、一次函數與動點探索
一次函數中的動點問題是一個難點問題，考試時在壓軸題部分比較常見。首先要明確，題目求證的根本是：動點的運動軌跡形成不同定義區域的函數直線，不同的函數直線在不同位置與原圖形結合，推理產生的函數表達式。
解決動點問題要具有「動中有靜、動靜結合」的解題思想，把握動點的運動軌跡，在動點的「運動」過程中分析引起的圖形變化情況，因此，務必搞明白動點分成幾個階段運動，每一階段對應的取值範圍。最好的辦法是找到特殊位置，特殊位置的變化基本就是每一階段函數表達式的變化。
第二，確定在相應階段的運動過程中線段、角度的變化，在變化中找到不變的量，確定不變的關係量，理清彼此對應的關係。其三，通過畫圖，合情推理、演繹每一個運動階段變化時對應的區域變化，即定義域的取值範圍。最後，根據運動決定函數關係式的形式，從而有效地解決一次函數的動點問題。
下面就從單動點，多動點，單邊，多邊上運動不同情況的例題進行解決問題的分析，通過題例提高對動點問題的解決能力。
1、一次函數中單動點問題探究
本題是一次函數綜合題，在求證過程中，運用到的知識點主要是：待定係數法求一次函數解析式；求三角形的面積；全等三角形的判定。
2、一次函數中雙動點問題探究
雙動點的情況看似複雜，但其隱含條件之一，通常是「雙動點之間的時間關係」，可以「利用時間關係將兩個動點的位移聯繫起來」。在解題過程中，會涉及較多的數學知識。由例示中可以發現，「數形結合」，勾股定理、全等三角形、三角函數、相似三角形等初中數學中的重點內容都可以在「雙動點問題」這裡得到展示。
從例示中可以看到動點問題的解題要領：通過圖像的變化確定函數關係式的表達形式，找尋圖中標識題目中的重要信息，找到坐標和距離之間的變化關係，判斷動點移動過程中是否出現特殊圖形，或者圖形的變化有什麼特點，最後，根據圖形的變化推理函數表達式。這種推導方式較為普遍。
在解題過程中，大概率可能需要添加輔導線。需要說明的是，函數，包括一次函數、反比例函數與二次函數，其與動點相結合的問題，難度通常是逐級遞進。考試時，通常會分成三個小問題，可以根據題目變化，有時可以將第一問的解答思路、解答結果延續到第下面的幾個問題，幫助我們更好的求解求證。
3、直線的垂直（兩條函數直線K的關係）
這是對第一次內容的補充，強調一次函數式中，兩條相互垂直的線段K值的變化關係和特點。利用這一特點，可以提高確定一次函數解析式的速度。
十、讀懂一次函數圖像的信息
1、理解橫縱坐標分別表示的的實際意義，比如關於軸的對稱、原點對稱、象限與點、象限與線段，尤其是後兩者，注意是否需要規定「定義域」變化。
2、分析已知（看已知的是自變量還是因變量），通過作x軸或y軸的垂線，在圖象上找到對應的點，由點的橫坐標或者縱坐標的值讀出要求的值。
3、利用數形結合的思想：將「數」轉化為「形」，進而由「形」定「數」。
4、函數表達式的推理方法：①直接觀察法；（2）利用表達式求解法。前者對圖像的準確度要求較高，多用於判斷類題型，比如定義域的變化、圖像的增減性等，後者則是綜合通用題型的解決手段，需要參考其它條件求解。
十一、一般適應性練習（初學者需要掌握到本部分內容層次）
十二、適度提高性練習【中考題型】
函數內容，博大精深，俗有「做不完的壓軸題，看不完的變化函數圖像」之稱，更是中考數學關注的重點，幾乎百分百的中考試卷，都會直接以函數形式、或者以函數為考點，摻雜結合其它數學知識，以「數形結合」的形式做為壓軸題出現。
因此，無論是初學者，還是面臨中考的考生，如果想在數學考試中拿到高分，平時務必重視函數學習，提高函數與初中數學知識的綜合應用能力。如果學有餘力，可以適度多做一些函數中考真題。（一次函數的初步內容，本周分三次已經結束。謝謝您的本次閱讀，敬請繼續關注作者「觀海松說教育」。如果您有更好建議，敬請評論分享。）