動點問題常常被列為各地中考數學的壓軸題之一,這類問題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上設計一個或兩個動點,並對這些點在運動變化過程中伴隨的等量關係、變量關係、圖形的特殊狀態、圖形間的特殊關係等進行研究考查.動點問題常集幾何與代數知識於一體,常用到數形結合、分類討論等思想,有較強的綜合性.
[例3]如圖3,在邊長為2的正方形ABCD 中剪去一個邊長為1 的小正方形CEFG,動點P 從點A 出發,沿A→D→E→F→G→B 的路線繞多邊形的邊勻速運動到點B 時停止(不含點A 和點B),則△ABP 的面積S 隨著時間t變化的函數圖像大致是( ).
圖3
圖4
解析:當點P 在AD 上時,△ABP 的底AB 不變,高增大,因此,△ABP的面積S隨著時間t的增大而增大;當點P 在DE 上時,△ABP 的底AB 不變,高不變,因此,△ABP的面積S 不變;當點P 在EF 上時,△ABP 的底AB 不變,高減小,所以△ABP 的面積S 隨著時間t 的減小而減小;當點P 在FG 上時,△ABP 的底AB 不變,高不變,所以△ABP 的面積S 不變;當點P 在GB 上時,△ABP 的底AB不變,高減小,所以△ABP 的面積S 隨著時間t 的減小而減小.故選B.
點評:此題為特殊四邊形和動點「聯姻」的函數問題,涉及矩形三角形的面積、一次函數的性質及方程思想等知識.同時也考查了分類討論思想. 解題時,第一步,動中尋靜→在運動變化中找出不變的量及相等的關係,得出相關的常量,並用含變量的代數式表示相關的量;第二步,找特殊點(分類討論)→將變化的點按指定的運動路徑運動一遍,明確運動過程中的特殊位置以及可能出現的情況;第三步,找等量關係→利用面積關係、相似三角形的性質、勾股定理、特殊圖形的幾何性質及相互關係等,確定等量關係;第四步,列方程→將相關的常量和含有變量的代數式代入等量關係建立方程,根據所列方程解決相關問題.