動點在幾何圖形（正方形、矩形、菱形等）的邊上運動，導致了與某些圖形組成的圖形的線段或面積數量不斷變化形成的一次函數問題，可以巧妙地運用分段的一次函數圖象描繪出來，此類問題把「形」與「數」達到了完美的結合，解決此類問題我們要學會用分析的眼光，既要注意動點運動到的某些特殊位置，又要善於從提供的圖象中獲取有效信息（特別要搞清橫縱坐標軸代表的變量意義）.
1．（2019蜀山區一模）如圖直線a，b都與直線m垂直，垂足分別為M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜邊，AB在直線m上，AB＝2，且點B位於點M處，將等腰直角△ABC沿直線m向右平移，直到點A與點N重合為止，記點B平移平移的距離為x，等腰直角△ABC的邊位於直線a，b之間部分的長度和為y，則y關於x的函數圖象大致為（ ）
【解析】本題主要考查動點問題的函數圖象，解題的方法是動中找靜，在不同的情況下找到y與x的函數式．根據等腰直角△ABC被直線a和b所截的圖形分為三種情況討論：
①當0≤x≤1時，如圖1所示．此時BM＝x，則DM＝x，在Rt△BMD中，利用勾股定理得BD＝√2x，
所以等腰直角△ABC的邊位於直線a，b之間部分的長度和為y＝BM+BD＝（√2+1）x，是一次函數，當x＝1時，B點到達N點，y＝√2+1；
②當1＜x≤2時，如圖2所示，△CPQ是直角三角形，此時y＝CP+CQ+MN＝√2+1．即當1＜x≤2時，y的值不變是√2+1．
③當2＜x≤3時，如圖3所示，此時△AFN是等腰直角三角形，AN＝3﹣x，則AF＝√2（3﹣x），y＝AN+AF＝（﹣1﹣√2）x+3+3√2，是一次函數，當x＝3時，y＝0．綜上所述只有D答案符合要求．故選：D．
2．（2019濮陽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，BE＝1，動點P從點A出發，沿路徑A→D→C→E運動，則△APE的面積y與點P經過的路徑長x之間的函數關係用圖象表示大致是（ ）
方法總結：這類動點與一次函數圖像選擇問題是各類考試的熱點題型，解答此類問題的策略可以歸納為三步：
第一步，就是認真觀察幾何圖形，徹底弄清楚動點從何點開始出發，運動到何點停止，整個運動過程分為不同的幾段，何點（時刻）是特殊點（時刻），這是準確解答的前提和關鍵；
第二步，就是計算、寫出動點在不同路段的函數解析式，注意一定要註明自變量的取值範圍，求出在特殊點的函數數值和自變量的值，這一步往往是考生在答題時不易做到的，有些這種類型的選擇題可以不寫出具體表達式，而是根據分析大致確定解析式是一次函數是遞增還是遞減，根據這些信息進行選擇；
第三步，就是根據解析式選擇準確的函數圖像或答案，多用排除法。首先，排除不符合函數類形的圖像選項，其次，對於相同函數類型的函數圖像選項，再用自變量的取值範圍或函數數值的最大和最小值進行排除，選出準確答案。
一般需注意: ①.函數圖象中橫、縱坐標代表的量及函數中自變量的取值範圍;②.分段函數要分段討論;③.轉折點:判斷函數圖象的傾斜方向或增減性發生變化的關鍵點;④.平行線:函數值隨自變量的增大而保持不變.
3．（2018秋吳江區期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象與y軸的正半軸交於點A，與x軸交於點B（﹣2，0），△ABO的面積為2．動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度在射線BO上運動，動點Q從O出發，沿x軸的正半軸與點P同時以相同的速度運動，過P作PM⊥X軸交直線AB於M．
（1）求直線AB的解析式．
（2）當點P在線段OB上運動時，設△MPQ的面積為S，點P運動的時間為t秒，求S與t的函數關係式（直接寫出自變量的取值範圍）．
（3）過點Q作QN⊥x軸交直線AB於N，在運動過程中（P不與B重合），是否存在某一時刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出時間t值．
【解析】（1）S△ABO＝1/2×OA×OB＝1/2AO×2＝2，則OA＝2，即點A（0，2），將點A、B的坐標代入一次函數表達式：y＝km+n得：n=2,0=-2m+n，解得：m=1,n=2，直線AB的表達式為：y＝x+2；
（2）t秒時，點P的坐標為（﹣2+t，0），則MP＝BP＝t，S＝1/2×PQ×MP＝1/2t＝t（0＜t≤2）；
4．（2018秋常州期末）（1）問題解決：
①如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝ x+1與x軸交於點A，與y軸交於點B，以AB為腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，點A、B的坐標分別為_____________．
②求①中點C的坐標．
小明同學為了解決這個問題，提出了以下想法：過點C向x軸作垂線交x軸於點D．請你藉助小明的思路，求出點C的坐標；
（2）類比探究
數學老師表揚了小明同學的方法，然後提出了一個新的問題，如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標（0，﹣6），點B坐標（8，0），過點B作x軸垂線l，點P是l上一動點，點D是在一次函數y＝﹣2x+2圖象上一動點，若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D與點P的坐標．
【分析】本題是一次函數綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，方程的思想，構造全等三角形是解本題的關鍵．（1）利用坐標軸上點的特點建立方程求解，即可得出結論；
（2）先構造出△AEC≌△BOA，求出AE，CE，即可得出結論；
（3）同（2）的方法構造出△AFD≌△DGP（AAS），分兩種情況，建立方程求解即可得出結論．
【解答】（1）針對於一次函數y＝1/4x+1，
令x＝0，∴y＝1，∴B（0，1），
令y＝0，∴1/4x+1＝0，∴x＝﹣4，∴A（﹣4，0），
故答案為（﹣4，1），（0，1）；
（2）如圖1，由（1）知，A（﹣4，0），B（0，1），∴OA＝4，OB＝1，
過點C作CE⊥x軸於E，∴∠AEC＝∠BOA＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAO＝90°，∴∠CAE＝∠ABO，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，
在△AEC和△BOA中，∠AEC＝∠BOA＝90°，∠CAE＝∠ABO，AC=BA，
∴△AEC≌△BOA（AAS），∴CE＝OA＝4，AE＝OB＝1，
∴OE＝OA+AE＝5，∴C（﹣5，4）；
（3）如圖2，∵過點D作DF⊥y軸於F，延長FD交BP於G，
∴DF+DG＝OB＝8，
∵點D在直線y＝﹣2x+2上，∴設點D（m，﹣2m+2），∴F（0，﹣2m+2），
∵BP⊥x軸，B（8，0），∴G（8，﹣2m+2），
同（2）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），∴AF＝DG，DF＝PG，
如圖2，DF＝m，∵DF+DG＝DF+AF＝8，∴m+|2m﹣8|＝8，
∴m＝16/3或m＝0，∴D（0，2）或（16/3，﹣26/3），
當m＝0時，G（8，2），DF＝0，∴PG＝0，∴P（8，2），
當m＝16/3時，G（8，﹣26/3），DF＝16/3，∴PG＝26/3，∴P（8，﹣10/3），
即：D（0，2），P（8，2）或D（16/3，﹣26/3），P（8，﹣10/3）．
方法總結：解決根據函數圖象獲取信息的題目, 解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數學知識解決問題。需從題幹出發,將幾何圖形與函數圖象對比著分析.
若動點問題涉及具體速度，主要考查運動的過程．
1. 一次函數背景下研究動點問題的思考方向：①把函數信息（坐標或表達式）轉化為背景圖形的信息；②分析運動過程，注意狀態轉折，確定對應的時間範圍；③畫出符合題意的圖形，研究幾何特徵，設計解決方案．
2. 解決具體問題時會涉及 線段長的表達，需要注意兩點：①路程即線段長，可根據s=vt直接表達已走路程或未走路程；
②根據研究幾何特徵的需求進行表達，既要利用動點的運動情況，又要結合背景圖形信息．