在平面幾何題中，適當的建立直角坐標系，利用代數的方法解決幾何問題，即解析法，有時會顯得更簡潔高效．現以近年中考壓軸題為例，分析說明解析法之妙．
1.如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交於點Q，連接PQ，M為PQ中點．
（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD＝10，AB＝20，點P在邊CD上運動，設DP＝x，BM2＝y，求y與x的函數關係式，並求線段BM的最小值；
（3）若AD＝10，AB＝a，DP＝8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化．當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值範圍．
【分析】本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、中位線、勾股定理、二次函數的最值、解一元一次不等式等知識點，涉及考點較多，有一定的難度．解題關鍵是：第（2）問中，由BM2＝y，容易聯想到直角三角形與勾股定理；由最值容易聯想到二次函數；第（3）問中需要明確「點M落在矩形ABCD外部」所要滿足的條件．
【解答】（1）證明：∵∠QAP＝∠BAD＝90°，∴∠QAB＝∠PAD，
又∵∠ABQ＝∠ADP＝90°，∴△ADP∽△ABQ．
（2）解：∵△ADP∽△ABQ，∴AD/AB=DP/QB，
即10/20=x/QB，解得QB＝2x．
∵DP＝x，CD＝AB＝20，∴PC＝CD﹣DP＝20﹣x．
如解答圖所示，過點M作MN⊥QC於點N，
∵MN⊥QC，CD⊥QC，點M為PQ中點∴點N為QC中點，MN為中位線，
∴MN＝1/2PC＝1/2（20﹣x）＝10﹣1/2x，
BN＝1/2QC﹣BC＝1/2（BC+QB）﹣BC＝1/2（10+2x）﹣10＝x﹣5．
在Rt△BMN中，由勾股定理得：
第（3）的解法不僅要想到添加輔助線，還兩次運用了相似比，計算量大，易出錯．比較穩妥而簡潔的做法是將圖形放進直角坐標系中，利用數形結合的方法來解決此類問題．
如何建立合適、恰當的坐標系呢？通常需要考慮以下兩點： 第一，讓儘可能多的點落在直角坐標繫上，這些點的坐標含有數字O，可以起到簡化運算的功效；
第二，考慮圖形的對稱性，同樣，也能起到簡化運算的作用．
解答 如(2)中的答圖所示，建立以B點為原點，BC方向為x軸正半軸，BA方向為y軸正半軸的直角坐標系．
思考：沒有比較久沒有傷害，這樣通過建立合適的直角坐標系，使圖形上各點得到確定，讓問題變得清晰明了，避免了運用相似而產生的複雜計算．
知微見著，在初中幾何的學習中, 常常遇到不同類型的幾何計算題, 若以直角為背景的幾何題，一般情況下，用初中幾何有關定義、定理處理比較方便！但有些題目卻要添加輔助線，發掘隱含條件等高技巧的特殊處理措施，初學者解題時常遇到困難。如果採用解析法，有些問題思路反而清晰簡單，具有獨特的優點。
平面上建立直角坐標系後，點與有序實數對建立了一一對應關係，這樣，就可以將幾何問題轉化為代數問題。平面解析幾何是藉助平面坐標系, 利用代數方法來研究平面圖形，從而平面圖形的性質可以表示為圖形上點的坐標之間的關係, 特別是代數關係, 以此實現幾何問題與代數問題的相互轉化。
2.某數學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB＝8．
問題思考：
如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC、BPEF．
（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值．
（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP於點K，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由．
問題拓展：
（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ＝8．若點P從點A出發，沿A→B→C→D的線路，向點D運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑的長．
（4）如圖3，在「問題思考」中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM＝BN＝1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經過的路徑的長及OM+OB的最小值．
【分析】本題是中考壓軸題，難度較大．解題難點在於分析動點的運動軌跡，需要很好的空間想像能力和作圖分析能力；此外本題還綜合考查了二次函數、整式運算、四邊形、中位線、相似、軸對稱與勾股定理等眾多知識點，是一道好題．聲明：試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不制發
【解答】（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和不是定值．
設AP＝x，則PB＝8﹣x，
（3）當點P從點A出發，沿A→B→C→D的線路，向點D運動時，不妨設點Q在DA邊上，若點P在點A，點Q在點D，此時PQ的中點O即為DA邊的中點；若點Q在DA邊上，且不在點D，則點P在AB上，且不在點A．此時在Rt△APQ中，O為PQ的中點，所以AO＝1/2PQ＝4．
所以點O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上．
PQ的中點O所經過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：
所以PQ的中點O所經過的路徑的長為：3/4×2π×4＝6π．
（4）點O所經過的路徑長為3，OM+OB的最小值為√113．
如答圖4﹣1，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形．
∵點O為中點，∴OS＝1/2（GR+HT）＝1/2（AP+PB）＝4，
即OS為定值．∴點O的運動路徑在與AB距離為4的平行線上．
∵MN＝6，點P在線段MN上運動，且點O為GH中點，
∴點O的運動路徑為線段XY，XY＝1/2MN＝3，XY∥AB且平行線之間距離為4，點X與點A、點Y與點B之間的水平距離均為2.5．
如答圖4﹣2，作點M關於直線XY的對稱點M′，連接BM′，與XY交於點O．由軸對稱性質可知，此時OM+OB＝BM′最小．
在Rt△BMM′中，MM′＝2×4＝8，BM＝7，
解答 (1)如圖5所示，以A點為原點，AB方向為x軸正半軸，AC方向為y軸正半軸，建立直角坐標系．設AP＝a．
又P在M到N之間運動，∴1≤a≤7．
∴a經過的路徑是一條與AB平行的線段，長為3．
(3)如圖7所示，作點M關於直線XY的對稱點M'，連結BM'．
由軸對稱性質可知，M'(1，8)，由兩點之間線段最短可知，此時OM＋OB＝BM'最小，
綜上所述，解析法一般先求出點所在線（直線或拋物線）的函數關係式，再根據需要列出方程、不等式或函數分析求解，突出從數到形思想方法應用。因此在以特殊圖形為基礎幾何問題中，不要因變化多端的條件而搞亂思路，可以嘗試用解析幾何的方法去應對，有可能達到化繁為簡的效果．可以說解析法是平面幾何最代數化、最暴力的方法，一般在平面幾何法比較困難時或圖形簡明但倒邊、倒角困難時使用。
最後中考衝刺階段，一定要樹立堅定、必勝的複習信心。因為任何事情的成功，都源於「動機」和「信心」，信心是力量的源泉，是做好一切事情的保證。