今天給大家帶來的是關於最短路徑的題目。最短路徑問題源遠流長，早期記載可追溯到古希臘著名數學家海倫及其「將軍飲馬」，其後又經斯涅爾、費馬、伯努利、法尼亞諾等人提出形形色色引人入勝的問題，終於在「最速降線」一戰中為變分法拉開了華麗序幕。
最短路徑問題以初等幾何變換為工具，可以很好地考察同學們的幾何綜合水平，從而在很多地區作為幾何壓軸題出現。初中教材上關於最短路徑也有著詳細的描述，主要有兩大經典模型需要非常熟悉：「將軍飲馬」和「過河架橋」，當然其也會產生很多變形，如「三角洲飲馬」等。處理最短路徑問題，最主要的指導思想是：通過三大變換（平移、對稱、旋轉），將所求的若干段線段拼接成首尾依次相接的一段折線段，且起點和終點均為定點，則可利用兩點之間線段最短的原理，得到所求若干段線段之和的最小值，即為該直線段的長度。
(2018陝西，25，12分)
問題提出
(1)如圖①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，則△ABC的外接圓半徑R的值為_______．
問題探究
(2)如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點，P是⊙O上一動點，求PM的最大值．
問題解決
(3)如圖③所示，AB、AC、弧BC是某新區的三條規劃路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，弧BC所對的圓心角為60°．新區管委會想在弧BC路邊建物資總站點P，在 AB、AC路邊分別建物資分站點E、F．也就是，分別在弧BC、線段AB和AC上選取點 P、E、F．由於總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規劃道路PE、EF和FP．為了快捷環保和節約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE＋EF＋FP的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計)
分析：本題頗有新意，以施瓦茨三角形為背景，考察了多動點（三動點）問題的處理方式，要求同學們具有廣泛的閱讀量或者強大的知識遷移能力，在此我們僅分析第三問。對於多動點問題，一個首要的想法是先固定其中一個點，使動點數量降下來，研究此時的最短路徑；再讓先前固定的點動起來，在所有位置的最短路徑中找一個最短中的最短。
首先簡單分析一下原圖，可看出△ABC為30°角的直角三角形，而△BCO為等邊三角形；然後心中一合計，應該先固定點P（為什麼？），考察此時的最短路徑。假定點P的位置如圖所示：
如果到了這一步，不能進行有效的聯想，很可能導致思路中斷。看看這幅「三角洲飲馬」圖，你恐怕就明白了：
思路源於積累！所以第一步我們已經解決了，在每一個固定點P的位置，我們都可以找到此時對應的最短路徑P'P''，但是當點P動起來後，所有最短路徑中的最小值又在哪兒呢？你只要回憶一下，「三角洲飲馬」問題中的P'P''是怎樣計算的，就可以推斷出來了，不過在此我們藉助幾何畫板來演示：
原來如此！我們把P'P''放在了等腰三角形P'AP''中去計算，由軸對稱的性質可知P'A=P''A=PA，而其頂角∠P'AP''是∠BAC的兩倍，是固定的120°，所以P'P''=根號3PA，從而要使P'P''最小，則PA要最小，這個就是我們熟悉的與圓有關的的最值：連接圓外一點與圓上各點的所有線段中，最短為連心線-半徑！
當然，最後我們還是要算一下連心線AO，如果你能看出△ABO是直角三角形的話就更簡單啦！
總結一下：
①多動點問題不要慌，先固定其中一個動點，降低動點個數，再去求此時的最短路徑．這就是著名的「控制變量法」．
②對於①中每一個固定的點，均有一個對應的最短路徑，找出所有最短路徑中最小的那個即可，這主要取決於①中的最短路徑是怎麼算出來的（也就是函數關係）．
③熟悉各種最基本的最短路徑問題，及其常見的變形．最好是增大閱讀量，多了解一些課本之外的歷史上著名的最短路徑問題，保不準啥時候費馬點或者施瓦茨三角形就出現哩！
拓展：施瓦茨三角形