中考數學壓軸題,如何解二次函數與正方形綜合問題

2021-01-08 吳國平數學教育

什麼是正方形？

有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

什麼是二次函數？

一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a≠0），那麼y叫做x 的二次函數。

y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a≠0）叫做二次函數的一般式。

正方形與二次函數作為初中數學最重要知識內容之一，一直是中考數學熱點和重點。像二次函數的重要性，相信不要老師多說，它一直是中考數學必考的熱點，超過90%以上的壓軸題都和二次函數有關。

正方形作為一種特殊的平行四邊形，不僅具有一般平行四邊形所有性質，更具自身特殊的性質，如：

1、具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質；

2、正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；

3、正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；

4、正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；

5、正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；

6、正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。

因此，在中考數學中，若把二次函數和正方形放在一起，就可以「創造」出很多具有綜合性強、創新型、解法靈活等鮮明特點的題型。

中考數學，二次函數與正方形相關題型，典型例題分析1：

巳知二次函數y=a（x2-6x+8）（a＞0）的圖象與x軸分別交於點A、B，與y軸交於點C．點D是拋物線的頂點．（1）如圖①．連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點0'恰好落在該拋物線的 對稱軸上，求實數a的值；（2）如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，4）、（4，3），邊HG位於邊EF的 右側．小林同學經過探索後發現了一個正確的命題：「若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等 （即這四條線段不能構成平行四邊形）．「若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，並寫出探索過程；（3）如圖②，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標l是大於3的常數，試問：是否存在一個正數阿a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等 （即這四條線段能構成平行四邊形）？請說明理由．

考點分析：

二次函數綜合題．

題幹分析：

（1）本題需先求出拋物線與x軸交點坐標和對稱軸，再根據∠OAC=60°得出AO，從而求出a．（2）本題需先分兩種情況進行討論，當P是EF上任意一點時，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．（3）本題需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出關於t與a的方程，從而得出a的值，即可求出答案．

解題反思：

本題主要考查了二次函數的綜合問題，在解題時要注意運用數形結合和分類討論，把二次函數的圖象與性質和平行四邊形的判定相結合是本題的關鍵．

二次函數與正方形相關題型本質上就是函數與幾何綜合類問題，此類問題一直是中考數學的熱點。要想正確解決此類問題，除了要掌握好相應的幾何知識和函數知識，更需要考生能根據圖形的變化，找出變量之間的關係，從而建立起函數解析式。

函數與幾何綜合問題最大的特點就是「數」與「形」相互結合、相互滲透，二次函數與正方形相關的綜合問題也不例外。

中考數學，二次函數與正方形相關題型，典型例題分析2：

如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B和D（4，-2/3）.

（1）求拋物線的表達式.

（2）如果點P由點A出發沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發，沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動。設S=PQ2（cm2）.

①試求出S與運動時間t之間的函數關係式，並寫出t的取值範圍；

②當S取5/4時，在拋物線上是否存在點R，使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由.

（3）在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標.

考點分析：

二次函數綜合題；待定係數法求一次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特徵；待定係數法求二次函數解析式；勾股定理；平行四邊形的性質.

題幹分析：

（1）設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐標代入即可；（2）①由勾股定理即可求出，②假設存在點R，可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形，求出P、Q的坐標，再分為三種情況：A、B、C即可根據平行四邊形的性質求出R的坐標．（3）A關於拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標。

解題反思：

本題主要考查了用待定係數法求一次函數和二次函數的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質，二次函數圖象上點的坐標特徵等知識點，解此題的關鍵是綜合運用這些知識進行計算。此題綜合性強，是一道難度較大的題目。

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