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本單元是《與二次函數有關的綜合問題》，主體是二次函數，重點是綜合問題。本單元的主要考查點是二次函數的綜合題，涉及的知識點有：待定係數法求二次函數解析式，待定係數法求一次函數解析式，軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數等知識，綜合性較強，有一定的難度．
01經典題目解析
1. 分析（1）根據頂點式解析式，可得頂點坐標，根據點的坐標代入函數解析式檢驗，可得答案；（2）根據待定係數法，可得二次函數的解析式，根據函數圖 象與不等式的關係：圖 象在下方的函數值小，可得答案；（3）根據解方程組，可得頂點M的縱坐標的範圍，根據二次函數的性質，可得答案．
2. 思路分析（1）有實數根即≥0， （2）根據頂點和x軸交點確定拋物線關於x軸對稱的解析式，再根據平移的規則得到解析式；（3）拋物線與直線交點個數問題，本質就是聯立解析式得到二元一次方程，判斷方程根的情況，得到n的取值範圍，從而確定最值．點評本題考查了一元二次方程的根的判別式、二次函數的平移以及二次函數與一次函數的交點問題。綜合性較強。
3. 考點HF：二次函數綜合題．分析（1）由條件可求得拋物線的頂點坐標及A點坐標，利用待定係數法可求得拋物線解析式；（2）由B、D、E的坐標可分別求得DE、BD和BE的長，再利用勾股定理的逆定理可進行判斷；（3）由B、E的坐標可先求得直線BE的解析式，則可求得F點的坐標，當AF為邊時，則有FM∥AN且FM=AN，則可求得M點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得M點坐標；當AF為對角線時，由A、F的坐標可求得平行四邊形的對稱中心，可設出M點坐標，則可表示出N點坐標，再由N點在x軸上可得到關於M點坐標的方程，可求得M點坐標．
點評本題為二次函數的綜合應用，涉及矩形的性質、待定係數法、勾股定理及其逆定理、平行四邊形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得拋物線的頂點坐標是解題的關鍵，注意拋物線頂點式的應用，在（2）中求得△EDB各邊的長度是解題的關鍵，在（3）中確定出M點的縱坐標是解題的關鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．
4. 考點解剖本題考查了二次函數、一次函數和反比例函數的有關知識以及菱形的性質，掌握二次函數的性質和菱形的性質是解答本題的關鍵．解題思路（1）可設拋物線的解析式為頂點式，再將點M(2,0)代入即可．（2）由（k0）的圖 象位於第一、三象限，得 點D 只能在一、三象限，得出符合條件的菱形只能有如下兩種情況：①菱形以AB 為邊且AC 也為邊；②菱形以AB為對角線，再根據兩種情況分別解答．點評由（k0）的 圖 象性質，得 點D位於的象限，得出符合條件的菱形有兩種情況，即題目兩解．所以解答類似的問題要注意多解情況，防止漏解．
5. 分析（1）根據點A、B的坐標，利用待定係數法即可求出拋物線的表達式；（2）（I）由點P的橫坐標可得出點P、Q的坐標，利用待定係數法可求出直線PQ的表達式，過點D作DE∥y軸交直線PQ於點E，設點D的坐標為（x，﹣x2+2x+3），則點E的坐標為（x，﹣x+），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=﹣2x2+6x+，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；（II）假設存在，設點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，進而可得出點P、Q的坐標，利用待定係數法可求出直線PQ的表達式，設點D的坐標為（x，﹣x2+2x+3），則點E的坐標為（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t，再利用二次函數的性質即可解決最值問題．
6. 分析（1）利用配方法將二次函數解析式由一般式變形為頂點式，此題得解；（2）過點C作直線AB的垂線，交線段AB的延長線 於 點D，由AB∥x軸且AB=4，可得出點B的坐標為（m+2，4a+2m﹣5），設BD=t，則點C的坐標為（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），利用二次函數圖 象上點的坐標特徵可得出關於t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面積公式即可得出S△ABC 值；
（3）由（2）的結論結合S△ABC=2可求出a值，分三種情況考慮：①當m＞2m﹣2，即m＜2時，x=2m﹣2時y取最大值，利用二次函數圖 象上點的坐標特徵可得出關於m的一元二次方程，解之可求出m值；②當2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5時，x=m時y取最大值，利用二次函數圖 象上點的坐標特徵可得出關於m的一元一次方程，解之可求出m 值 ；③當m＜2m﹣5，即m＞5時，x=2m﹣5時y取最大值，利用二次函數圖 象上點的坐標特徵可得出關於m的一元一次方程，解之可求出m 值．綜上即可得出結論．
7. 分析（1）根據直線y=2x求得點M（2，4），由拋物線的對稱軸及拋物線上的點M的坐標列出關於a、b的方程組，解之可得；（2）作PH⊥x軸，根據三角形的面積公式求得S=﹣m2+4m，根據公式可得K的解析式，再結合點P的位置得出m的範圍，利用一次函數的性質可得答案．
8. 分析（1）先求得點A的坐標，然後依據拋物線過點A，對稱軸是x=列出關於a、c的方程組求解即可；（2）設P（3a，a），則PC=3a，PB=a，然後再證明∠FPC=∠EPB，最後通過等量代換進行證明即可；（3）設E（a，0），然後用含a的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，於是可得到點F的坐標，然後依據中點坐標公式可得到=，=，從而可求得點Q的坐標（用含a的式子表示），最後，將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得a的值即可．
14.點評本題考查了二次函數的圖 象 與性質，一次函數的圖 象 與性質，對稱的性質，勾股定理逆定理，一元一次方程的解法，垂直平分線的判定和性質，等腰三角形的性質．第（2）題設點B橫坐標為b後，即把b當常數進行求直線解析式和點坐標的運算，較多字母的運算過程要抓清楚常量和變量．
15. 分析（1）利用一次函數圖 象上點的坐標特徵可求出點A，C的坐標，根據點A，C的坐標，利用待定係數法可求出二次函數解析式；（2）①由PM⊥x軸可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°兩種情況考慮：（i）當∠MPC＝90°時，PC∥x軸，利用二次函數圖 象上點的坐標特徵可求出點P的坐標；（ii）當∠PCM＝90°時，設PC與x軸交於點D，易證△AOC∽△COD，利用相似三角形的性質可求出點D的坐標，根據點C，D的坐標，利用待定係數法可求出直線PC的解析式，聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的坐標．綜上，此問得解；②利用二次函數圖 象上點的坐標特徵可得出點B，P的坐標，根據點P，B的坐標，利用待定係數法可求出直線PB的解析式，結合題意可知：直線l過點C，且直線l∥直線PB，再結合點C的坐標即可求出直線l的解析式．
點評本題考查了一次函數圖 象上點的坐標特徵、待定係數法二次函數解析式、二次函數圖 象上點的坐標特徵、待定係數法求一次函數解析式、相似三角形的判定與性質以及平行線的性質，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定係數法求出二次函數解析式；（2）①分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°兩種情況求出點P的坐標；②利用待定係數法及平行線的性質，求出直線l的解析式．
16. 分析（1）根據拋物線的對稱軸及拋物線與軸的交點坐標可求出、的值；（2）由題意先求出點坐標為，求出直線的解析式，設，則，四邊形的面積可表示為，利用二次函數的性質可求出面積的最大值；（3）當時，可得，則，過點作交於點，可求出、的長，用待定係數法可求出函數解析式．
點評本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數的性質和軸對稱的性質；會利用待定係數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質，會利用相似三角形的性質解題；要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵．
17.點評本題主要考查了二次函數圖 象與坐標軸的交點求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養及直角三角形的中線性質．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用通過求點的坐標來表示線段的長度，從而求出線段之間的關係．
18. 分析（1）將解析式右邊因式分解得到拋物線與軸的交點為、結合即可得證；（2）結合（1）中一個交點坐標，及橫坐標均為整數，且為負整數可得的值，從而得出拋物線解析式，繼而求出點、坐標，從而畫出函數圖 象；（3）分點在上方和下方兩種情況，結合得出直線與軸所夾銳角度數，從而求出直線解析式，繼而聯立方程組，解之可得答案．點評本題是二次函數的綜合問題，解題的關鍵是掌握待定係數法求函數解析式、二次函數的圖 象和性質、直線與拋物線相交的問題等．
02閱讀說明
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03中考真題精選
04參考答案