初二上學期,一次函數圖像常見四種應用,難度較大

2021-01-11 勤十二談數學

函數常見的應用主要包括實際應用和幾何圖形上，能夠從所給的圖像中找到解決問題的突破口，並通過函數圖像求出函數一次函數解析式，從而解決實際應用題和幾何問題。這類題目常與熱點題型相結合，考查綜合分析能力，難度較大。

01行程問題

行程問題常考的有兩類問題，一類是s-t圖像問題，一類是y-t圖像問題，解題時可以畫示意圖輔助思考。

例題1：從甲地到乙地，先是一段上坡路，然後是一段平路，小衝騎車從甲地出發，到達乙地後休息一段時間，然後原路返回甲地．假設小衝騎車在上坡、平路、下坡時分別保持勻速前進，已知小衝騎車上坡的速度比平路上的速度每小時少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小時多5km，設小衝出發x h後，到達離乙地y km的地方，圖中的折線ABCDEF表示y與x之間的函數關係．

（1）求小衝在平路上騎車的平均速度以及他在乙地的休息時間；

（2）分別求線段AB、EF所對應的函數關係式；

（3）從甲地到乙地經過丙地，如果小衝兩次經過丙地的時間間隔為0.85h，求丙地與甲地之間的路程．

分析：解題前，先看清楚橫、縱坐標所表示的含義，橫坐標表示的為小衝出發後的時間，縱坐標表示的為離乙地的距離。從圖像上看，大致可以分為AB-BC-CD-DE-EF這五段，其中CD的縱坐標為0，說明小衝在乙地沒有運動，其它幾段的斜率不一樣，因為上坡、下坡和平路的速度是不一樣的。

（1）先計算出小明騎車上坡的速度，再根據騎車上坡的速度比平路上的速度每小時少5km求出小明平路上的速度；求出小明下坡的速度，平路上所用的時間，下坡所用的時間，那麼小明在乙地休息的時間=1h-小明上坡所用的時間0.2h-平路上所用的時間-下坡所用的時間；

（2）根據上坡的速度為10km/h，下坡的速度為20km/h，所以線段AB所對應的函數關係式為：yAB=6.5-10x，線段EF所對應的函數關係式為yEF=4.5+20（x-0.9），即可解答；

（3）設小明出發a小時第一次經過丙地，根據題意得到6.5-10a=20（a+0.85）-13.5，求出a的值，即可解答．

本題考查了一次函數的應用，行程問題數量關係的運用，一次函數解析式的確定，一元一次方程的運用．解決本題的關鍵是讀懂函數圖象，求出一次函數的解析式。

02工程問題

工程問題也是熱點問題之一，注意分類討論思想和數形結合思想的運用。

例題2：甲、乙兩組工人同時加工某種零件，乙組在加工過程中有一次停產更換設備，更換設備後，乙組的工作效率是原來的2倍，兩組各組加工零件的數量y（件）與時間x（時）的函數圖象如圖所示．

（1）求甲組加工零件的數量y與時間x之間的函數關係式；

（2）求乙組加工零件總量a的值；

（3）甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱，每次生產達到150件就裝一箱，零件裝箱的時間忽略不計，求經過多長時間恰好裝滿第2箱？

分析：（1）求函數解析式，甲是一條過原點的直線，因此為正比例函數，可設y=kx（k≠0），只有一個未知數，帶入一個點求出k的值即可。通過圖像可以發現，過點（6，360）。

（2）乙是一條折線，先求出乙一開始的加工速度，然後再求出改進設備後的加工速度，改進設備後又工作了4.8-2.8=2小時，由此求出乙組加工零件總量。

（3）根據題意利用分類討論的數學思想進行解答，分三種情況：（1）0＜t≤2；（2）2＜t≤2.8；（3）t＞2.8.

本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想和分類討論的數學思想解答。

03分段函數問題

例題3：為了增強居民節水意識，某市自來水公司對居民用水採用以戶為單位分段計費辦法收費．即一月用水10噸以內（包括10噸）的用戶，每噸收水費a元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸a元收費，超過10噸的部分，按每噸b元（b＞a）收費．設一戶居民月用水x噸，應收水費y元，y與x之間的函數關係如圖所示．

（1）求a的值；某戶居民上月用水8噸，應收水費多少元？

（2）求b的值，並寫出當x＞10時，y與x之間的函數關係式；

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收水費46元，求他們上月各用水多少噸？

分析：分段函數除了在分段計費問題外，在很多問題中都有應用，一般會與分類討論思想相結合。（1）（2）主要考查的是分段函數的應用，應結合函數的圖形，按不同的時間段進行逐段分析；（3）根據題意，可以分段利用方程或方程組解決用水量問題。

04幾何問題

例題4：如圖①所示，正方形ABCD的邊長為6cm，動點P從點A出發，在正方形的邊上沿A→B→C→D運動，設運動的時間為t（s），三角形APD的面積為S（cm2），S與t的函數圖象如圖②所示，請回答下列問題：

（1）點P在AB上運動的時間為（）s，在CD上運動的速度為（）cm/s，三角形APD的面積S的最大值為（）cm2；

（2）求出點P在CD上運動時S與t之間的函數解析式；

（3）當t為何值時，三角形APD的面積為10cm2

分析：（1）直接根據函數圖象上坐標可求出點P在AB上運動的速度為 6÷6=1cm/s，在CD上運動的速度為 6÷3=2cm/s；（2）用t表示PD=6-2（t-12）=30-2t，代入面積公式可求S=90-6t；（3）通過圖象可知，△APD的面積為10cm2．即S=10，得到S=3t和S=90-6t，求解即可。

一次函數知識點回顧：

八年級上學期，函數的概念，很多同學在學習時比較懵

初二上學期，難點分析，一次函數中的等腰三角形存在性問題

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