前面我們介紹了許多微積分準備階段的工作，都與幾何相關併集中於積分問題。解析幾何的誕生改變了這一狀況。解析幾何的兩位創始人笛卡爾與費馬。同時也都是將坐標方法引進無限小問題，尤其是微分學問題研究的前鋒。笛卡爾《幾何學》中提出了求切線的所謂「圓法」。這裡要介紹的則是費馬求極大值與極小值的方法。費馬的方法記載在1637年費一份手稿中。這手稿實際上式費馬致梅森的一份信，並有後者轉交給笛卡爾而引發了關於切線問題的熱烈討論，因為費馬的手稿中作為極大，極小值方法的應用收入他1629年發現的切線求法。費馬的方法幾乎相當於現今微分學中所用的方法。以下摘錄費馬1637年手稿的主要部分。
這裡舉一個例子：這個例子是的大家非常熟悉的，用現代微積分口算就可以得出，我們看看在沒有微積分的大時代背景下，費馬是如何解決這個問題的，它也因此成為求極大值和極小值的先驅。
將線段AC在E點分為兩部分，使AEXEC取最大值。
記AC=b,設a是兩線段之一，另一線段將為b-a，它們的積將是ba-a^2,我們要求的就是這個積的最大值，現在設b的第一條線段為a+e，第二條線段將為b-a-e，它們的積將為ba-a^2+be-2ae-e^2;這個表達式必須逼近前一個表達式ba-a^2，消去公共項得be≈2ae+e^2，再消去e得b=2a，所以解決所提出的問題，最後必須取a為b的一半。
我們很難指望更一般的方法了。
討論曲線的切線：用極大值和極小值思想
我們將用上述方法來求一條曲線在一給定點的切線
我們考慮定點為D，直徑為DC的拋物線BDN,設B為其上一點，在該點求拋物線的切線，使它與直徑相交於E。
我們在線段BE上選一點O，過該點作縱坐標OI,同時做B點的縱坐標BC，那麼因O點在拋物線之外，我們有CD/DI>BC^2/OI^2,但根據三角形相似性質，BC^2/OI^2=CE^2/IE^2,因此CD/DI>CE^2/IE^2。
因為B點已知，所以縱坐標BC，橫坐標CD均已知。設CD=d是這個已知量，又設CE=a，CI=e，我們得到
化去分式得：
按照前述的方法消去公共項得：
捨棄de，我們得到a=2d，這樣我們就證明了CE是CD的兩倍。
這一方法絕不會失效並且可以推廣應用一些優美的問題。藉助這一方法，我們已經求出了油直線或曲線圍城的重心以及一些立體圖形的重心，同時還獲得了一些其他的結果，關於這些結果，如果時間允許，我將在另外的場合來論述。
所以費馬用極大極小的思想解決了曲線上許多優美的性質。簡潔而美麗。