動點軌跡問題、最值問題歷來是中考的難點和熱點。學生需要在考場短時間思考出動點的運動軌跡確實不是一件容易的事情，如果平時不能有對圖形本質的理解和把握，很難在考試中解決此類問題。其實初中階段出現最多確定軌跡有兩種類型：「直線型」和「圓弧型」（兩種類型中還會涉及點往返探究「往返型」），對於兩大類型該如何斷定，對於填空選擇題而言，通過畫圖尋找3處以上的點來確定軌跡類型進而求出答案，對於解答題需通過軌跡模型進行說理，這對很多考生解釋清楚是個難點。
類型1 動點軌跡為直線的最值問題
1．在平面直角坐標系中，已知x軸上一點A（2 ，0），B為y軸上的一動點，連接AB，以AB為邊作等邊△ABC如圖所示，已知點C隨著點B的運動形成的圖形是一條直線，連接OC，則AC+OC的最小值是________．
【解析】本題主要考查等邊三角形的性質、利用軸對稱求最短線路．這裡構造三角形全等找到點C的運動軌跡是關鍵．
如圖所示，在第四象限以OA為邊長作等邊△AOD，
連接OD，並作直線CD，延長AD交y軸於點A'．
∵等邊△ABC、等邊△AOD
∴AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD＝60°
∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC，∴∠BAO＝∠CAD，
在△BAO和△CAD中，AB=AC, ∠BAO＝∠CAD,AO=AD,
∴△BAO≌△CAD（SAS）∴∠AOB＝∠ADC
∵∠AOB＝90°,∴∠ADC＝90°,∴CD⊥AD
∴點C隨著點B的運動形成的圖形是直線CD
∵∠AOA'＝90°，∠OAD＝60°
∴∠AA'O＝30°,∴好OA＝1/2AA',∴AD＝OA＝1/2AA',∴點D是AA'的中點.
∵CD⊥AD,∴CD是AA'的中垂線,∴AC＝A『C,∴AC+OC＝A'C+OC
又∵點C在直線CD上運動，所以點O、C、A'三點共線時，A'C+OC的值最小，最小值為OA'的長．
在R△AOA'中，∠AOA'＝90°，∠OAD＝60°，OA＝2√3
OA『＝√3OA＝6,∴AC+OC的最小值為6．故答案為6．
變式1．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，3），點B為x軸上一動點，以AB為邊在AB的右側作等腰Rt△ABD，∠ABD＝90°，連接OD，則OD+AD的最小值是______．
【解析】如圖，作DH⊥x於H，利用全等三角形的判定與性質證明點D在直線y＝x﹣3上運動，O關於直線y＝x﹣3的對稱點E′，連接AE′，求出AE′的長即可解決問題．因為A（0，3），所以AE′＝3√5，所以OD+AD的最小值是3√5．
變式2．（2019義烏市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D為AB上的動點，以DC為斜邊向右側作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，連接BE，則線段BE的最小值為______．
2．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，E是邊AD的中點，F是邊BC上的一個動點，EG＝EF，且∠GEF＝60°，則GB+GC的最小值為_______．
【解析】本題考查菱形的性質，直角三角形的性質；確定G點的運動軌跡，是找到對稱軸的關鍵．
取AB與CD的中點M，N，連接MN，作點B關於MN的對稱點E'，連接E'C，E'B，此時CE的長就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，∴HM＝1/2AE，
∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°，∴MB＝2，∠HMB＝60°，
∴HM＝1，∴AE'＝2，∴E點與E'點重合，
∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，
在Rt△EBC中，EB＝2√3，BC＝4，∴EC＝2√7，故答案為2√7；
類型2 動點軌跡為圓弧的最值問題
3．如圖，在直角坐標系中，等邊△OAB的邊OB在x軸的正半軸上，點A（3，m）（m＞0），點M，N分別從B、O出發，以相同的速度，沿BO，OA向O、A運動，連接AM、BN交於點E，點P是y軸上一點，則當EP最小時，點P的坐標是（ ）
【分析】本題是圓的綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識點；找出點E的運動軌跡是解本題的關鍵也是難點．解此類題目的方法是判斷出動點的軌跡所在的圓的圓心和確定出半徑．先判斷出△OBN≌△MAB（SAS），即可判斷出∠AEB＝120°，即可判斷出點F是以O'為圓心的圓上的一段弧（劣弧AB），然後確定出圓心O'的位置及坐標，設出點M的坐標，即可確定當點P（0，2√3）時，EP的最小值是6﹣2√3．
【解答】如圖，∵△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠ABM＝60°，OB＝AB，
∵點M、N分別從B、O以相同的速度向O、A運動，
∴BM＝ON，在△OBN和△MAB中，ON=BM, ∠BON＝∠ABM＝60°，OB＝AB，
∴△OBN≌△MAB（SAS），∴∠OBN＝∠BAM，
∴∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠OBN＝∠ABO＝60°
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABN+∠BAM）＝120°，
∴點E是經過點A，B，E的圓上的點，記圓心為O'，在⊙O'上取一點C，使點C和點E在弦AB的兩側，連接AC，BC，
∴∠ACB＝180°﹣∠AEB＝60°，
連接O'A，O'B，∴∠AO'B＝2∠ACB＝120°，
∵O'A＝O'B，∴∠ABO'＝∠BAO'，
∴∠ABO'＝1/2（180°﹣∠AO'B）＝1/2（180°﹣120°）＝30°，
∵∠ABO＝60°，∴∠OBO'＝90°，
∵△AOB是等邊三角形，A（3，m），∴AB＝OB＝2×3，m＝ ，
過點O'作O'G⊥AB，∴BG＝1/2AB＝3，
4．如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E是正方形內部一點，連接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，點P是AB邊上一動點，連接PD，PE，則PD+PE的長度最小值為_______．
【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，
∴點E在以BC為直徑的半圓上移動，如圖，設BC的中點為O，作正方形ABCD關於直線AB對稱的正方形AFGB，則點D的對應點是F，
連接FO交AB於P，交半圓O於E，則線段EF的長即為PD+PE的長度最小值，OE＝4，
變式3（2019江岸區校級模擬）如圖，正方形ABCD中，AB＝8，動點E從A出發向D運動，動點F從B出發向A運動，點E、F運動的速度相同．當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段BE、CF相交於點P，H是線段CD上任意一點，則AH+PH的最小值為（ ）
變式4（2019市中區二模）定義：長寬比為√n：1（n為正整數）的矩形稱為√n矩形．下面，我們通過摺疊的方式折出一個√2矩形，如圖a所示．
操作1：將正方形ABEF沿過點A的直線摺疊，使摺疊後的點B落在對角線AE上的點G處，摺痕為AH．
操作2：將FE沿過點G的直線摺疊，使點F、點E分別落在邊AF、BE上，摺痕為CD．則四邊形ABCD為√2矩形．
（1）證明：四邊形ABCD為√2矩形；
（2）點M是邊AB上一動點．
①如圖b，O是對角線AC的中點，若點N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求tan∠OMN的值；
②連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB＝√2，求DR的最小值．
【解析】（1）先證出∠DAG＝45°，進而判斷出四邊形ABCD是矩形，再求出AB：AD的值，即可得出結論；
總結：
1.動點的運動軌跡是直線（例1及變式1,2,例2）；
2.動點軌跡是圓弧的兩個特徵：定角and定弦.如下圖當AB為固定弦長（定弦），且∠APB（定角）為固定角時（0°<∠APB<180°），那麼滿足點P所有點位置在△ABP外接圓上。即點P運動的軌跡為圓。
弦定，弦所對的圓周角度數不變，圓周角頂點運動，則頂點的運動軌跡為圓弧,如例3、例4及變式。