作者：南希
本文來自少年時36《數學在西方》中的《當幾何與代數結伴而行》一文，
歡迎朋友圈轉發分享，
未經小多少年時(ID xiaoduoui)授權不得轉載。
關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文
當歐氏幾何走到了頭
17 世紀早期，儘管科學在各個領域有了重大突破，但是數學還只有一個幾何體系，就是根據古希臘數學家歐幾裡得所著的《幾何原本》創立的經典平面幾何體系。這個體系僅適用於由直線和圓組成的圖形。這時候的代數，不過是幾何的附屬品。
然而，隨著人們對科學的不斷深入探索，許多新的奇形怪狀的圖形相繼出現，這些都沒有辦法通過歐氏幾何理論進行分析。比如，為了描述天體運行的軌道，天文學家繪製了橢圓、雙曲線、拋物線，其中拋物線也很好地勾勒出炮彈出膛後的運動軌跡；在海上航行時人們常常藉助月亮來判定方位，因此人們迫切需要了解月球的運行軌跡和規律；望遠鏡和顯微鏡的發明，使透鏡走進了人們的視野，但是人們對透鏡的性質和參數卻完全沒有概念，比如說透鏡表面應該是做成什麼樣，才能有最好的光線會聚性能？
要解決這些問題，需要了解曲線的概念和定量分析方法。但是歐幾裡得沒有提出任何有關曲線問題的解決方法，古希臘人在圓錐曲線（平面與圓錐體相交得到的曲線）方面留下的著述也非常少。沒有可以參考的方法，這是當時的數學家所面臨的困境，數學方法的落後甚至妨礙到了整個科學的發展。
這時，有一位法國數學家率先站了出來，明確地表示了對歐氏幾何那套方法的強烈不滿。歐幾裡得的《幾何原本》裡提到的每一個問題，證明過程都需要一個新穎、奇巧的方法，不但過於抽象，而且多依賴於圖形，甚至需要解題者具有非凡的想像力。古希臘數學家雖然在研究數學問題上花費了大量的時間，卻從不考慮它們的實際應用問題。他直接抨擊歐氏幾何「成了一門充滿混亂和晦澀、有意用來阻礙思想的記憶，而不是一門有益於思想發展的藝術」。
這位數學家，就勒內 笛卡爾（René Descartes）。
1637 年，他發表了著作《方法論》。在一篇叫作《幾何學》的附錄中，他提出了一種不依賴於圖形也更為普遍的方法，這就是將代數應用於幾何，把幾何和代數中的精華部分結合起來，互相以長補短，我們稱之為「解析幾何」。
數學的「魔鑰匙」
1596 年，笛卡爾出生於法國拉艾的一個中產階級家庭。8 歲那年，他數學產生了興趣，在接受了 10 年的正規學校教育之後，他決心通過直接的身體驗來更好地了解世界。他到巴黎體會了浮華的生活，又回到了拉艾進行了一段時期的沉思。後來，他時而隨軍參戰，時而四處旅行，時而在巴黎醉生夢死。最後，他決心安定下來。在接下的 20 年裡，他大部分的時間和精力都用來著述。
在笛卡爾活躍的一生中，他其實一直在思考，「我們怎麼理解事物，如何才能獲得真理？」儘管真理不會自己產生，但是對笛卡爾來說似乎有些例外。至少他自己是這樣說的，他的靈感來源於一個夢境。
1619 年 11 月 10 日，在慶祝聖馬丁節的盛宴上狂飲之後，笛卡爾做了一個生動的夢。據笛卡爾所說，「在夢中他正用不帶迷信的科學眼光，觀察著兇猛的風暴，他發現一旦他看出風暴是怎麼回事兒，它就不能傷害他了。」這個夢境仿佛向他展示了一把「魔鑰匙」，這把鑰匙能打開大自然的寶庫，並使他掌握所有科學的真正基礎。儘管，笛卡爾並沒有明確說明這把神奇的鑰匙是什麼，不過人們通常認為這就是把代數應用於幾何的方法，就是解析幾何。
他認為，代數可以很好地彌補幾何在抽象方面的不足，因為代數可以直接用抽象的符號和數字進行推理，而且代數還可以把推理過程變得程式化，從而讓每一個人在面對數學問題時，不必因為想像力的限制而裹足不前。
於是，一種新的數學方法應運而生，這就是現在眾所周知的解析幾何，也是現代應用數學的基礎。
人們把 1619 年 11 月 10 日當成解析幾何誕生的日子，也是現代數學的誕生日。解析幾何理論就像一道光一樣，將蒙在數學家眼前的黑暗漸漸驅散，迎來了數學界的嶄新的黎明。
公式和圖形牽手
解析幾何因為它的簡單而格外引人注目。就像數學中所有真正偉大的東西一樣，解析幾何的基本概念簡單到近乎一目了然的地步。這個基本概念就是坐標系。
幾何中最簡單的圖形是直線，直線很容易理解，也很容易描述，笛卡爾就想辦法用直線來表示曲線。在平面上放置兩條相互垂直的直線，以相交的位置作為原點，指定這兩條直線的方向，畫上刻度，就建立起了笛卡爾平面直角坐標系。對於坐標系內的某一個點，我們可以用一對數字來表示（x，y），用正負號表示它具體位於原點的哪一側，x 和y 分別表示它在兩個方向上離開原點的距離。這對數字，我們稱為「坐標」。
比如，一座城市的地圖上，大道從南到北按數字分成 1 大道、2 大道、3道……街由東向西按數字分成 1 街、2街、3 街……我們可以把大道和街建成一個坐標系，任何建築都可以按照靠近哪個大街—大道交口來定位。比如紐約圖書館的位置位於：5 大道和 41 街的交口。
通過構建坐標系，幾何圖形或者說曲線上的任何點，都可以用兩個數來表達了。原本複雜的幾何問題就轉化成了能用公式和數字來表達的代數問題，接下來需要做的就是按照代數方法來計算。我們來看一個典型的例子。
勾股定理說直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果我們把這個直角三角形放到坐標系裡，讓一個銳角頂點位於原點，銳角相鄰的直角邊與x 軸重合。
我們把三角形的斜邊長設為R，兩直角邊分別為 x 和 y，那麼對應於 R，我們可以畫出不同的x、 y 組成的很多個三角形，它們都滿足關係式：
x2+ y2 ＝ R2，
當我們把這些三角形的另一個銳角的頂點連起來時，就得到了一個圓，而這個圓的半徑就是 R。
於是，我們就在代數方程和幾何圖形之間建立起了聯繫。這就是笛卡爾建立的解析幾何體系，按照這種思想，任何幾何曲線都可以通過建立坐標系用一個方程來表示。反過來，對於一個已有的方程，數學家也可以在坐標系內畫出它的樣子，一根曲線、一個曲面，或者是一個球面，從而進一步研究它的性質。比如：
y ＝ x2，
通過在坐標系裡描點、連線，我們可以得到這個方程對應的曲線，這是一根拋物線。拋物線在科學、技術、工程等領域中廣泛出現。
2 000 多年前，古希臘數學家在研究圓錐曲線時已經發現了拋物線，但只有到了解析幾何，才能對拋物線進行有實用價值的定量研究。
更重要的是，笛卡爾的解析幾何並不限於平面幾何，而是同樣適用於三維甚至多維空間。在三維空間內，我們可以在平面坐標軸的垂直方向上增加一條「z」軸，並用 3 組數（x，y，z）來代表空間內的每一個點。比如，我們在繪製三維城市地圖時，只需在考慮建築物位於大道和大街的位置之餘，增加一個表示建築物高度的參數。
在坐標系上建築現代數學
為了構建一種更好的數學方法，笛卡爾把方程和曲線結合了起來，也把代數和幾何合二為一，讓代數不再附庸於幾何。坐標系的應用不僅把幾何上已有的曲線轉化成了方程，也通過構建方程定義了一些複雜的曲線，大大簡化了複雜曲線的分析過程。雖然曲線千變萬化，構建方程的方法卻始終如一。
在建立了坐標系後，平面上的一曲線可以通過兩個變量的函數方程來表示，這不僅把代數和幾何聯繫起來，而且還把變量、函數等重要概念密切聯繫了起來，由此也對牛頓的研究有了一定的啟發。在牛頓發表的《流數法與無窮級數》中，採用了很多解析幾何的方法，而牛頓的流數法正是我們現在所說的微積分。
儘管笛卡爾的解析幾何主要解決的是圓錐曲線的問題，但在他的理論基礎上，17、18 世紀的科學家還引入了一些其他的新坐標系，解決了一些更為複雜的曲線問題。在那個科技文明大發展的時代，解析幾何的思想解決了天文學、力學和技術中的許多實際問題。笛卡爾的工作大大提高了數學在科學研究中的地位，也向全世界證明了數學在探索真理過程中發揮的作用和力量。解析幾何的提出，是一個時代結束的標誌，為日後微積分的出現奠定了堅實的基礎，而後者又是現代數學的基石。
本文摘自《少年時》系列科普叢書
關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文