給小學生講解數學問題的解決方法，我幾乎不用方程。原因有二：其一是，我一直覺得用方程解決問題屬於直線思維，是懶人的方法，讓孩子們過早接觸方程，會限制他們思維能力的開發；其二是，方程作為一項解題工具，我實在不知道有啥好講的，呵呵！
不過，在很多孩子的催促下，我還是想到了一些可以講解的方程知識，那就是關於聯立方程組是否有解的幾何解釋。
很多孩子對數學之所以難以有深入的理解，一個重要的原因就是無法從直觀上去理解抽象的數學問題。說的通俗一點就是，他們看到代數問題不會聯繫到幾何，看到幾何問題也無法轉為代數的角度去思考。當然，在代數和幾何之間可以做到思維的切換自如，是需要花費一些功夫的。我在很多文章裡示範過代數問題的幾何解釋，許多讀者看完之後感覺非常直觀，幫助了他們對很多問題有了不一樣的認識和理解。那麼，今天我再從幾何的角度來解釋一下如何理解聯立方程組是否有解這個問題。
先看一組聯立方程：
我們將①×2－②，推出：0＝8－5＝3。說明該聯立方程組不存在x和y同時滿足①、②兩式，於是我們可以得到該聯立方程組「無解」。
再看另一組聯立方程：
我們將①×2－②，推出：方程①與方程②完全一樣。說明該聯立方程組不存在固定的x和y同時滿足①、②兩式，於是我們可以得到該聯立方程組有「無窮多解」。
這個時候估計很多同學會問：這不合常理啊，我們遇到的大部分聯立方程組都是有解的！那麼，在什麼樣的情況下，聯立方程組是有解的呢？
我們假設如下一般化的聯立方程：
通常，我們都是用加減法來進行消元解方程組的。比如，為了消去y，我們可以①×d、②×b，得到：
將③－④得到：
用同樣的方法，我們還可以得到：
因此，當滿足下面的條件時：
聯立方程組會存在唯一的解，即：
上面的解釋對嗎？對！但有麼有什麼可以補充呢？有。因為沒有解釋當出現下面這種情況時，聯立方程組會如何？
大部分的數學教科書解釋到這裡基本就停止展開討論了，這是不夠嚴謹的處理，對充滿求知慾的孩子而言也是不負責的。
那麼又該如何處理呢？現在，我們從幾何的角度來解釋這個問題。
對①式進行變形得到：
在笛卡爾坐標系中，我們可以將這個等式表示為一條直線，即：
其中，-（a/b）叫做這條直線的「斜率」，s/b叫做這條直線在y軸上的「截距」。
我們來分類討論一下。
（一）當a＝0∧b＝0∧s＝0時，有：
這說明，所有的（x,y）都能使得式子成立。因此，滿足式子ax＋by＝s的圖形是整個平面。
（二）當a＝0∧b＝0∧s≠0時，有：
顯而易見，任何（x,y）都無法滿足上面的等式，也就是滿足式子ax＋by＝s的圖形不存在。假如以點的集合來看，這個圖形就是空集。
（三）當a＝0∧b≠0時，有：
因為b≠0，所以不管x是多少，y＝s/b都成立，而且是一條平行於x軸的直線，即水平直線。如下圖所示：
（四）當a≠0∧b＝0時，有：
因為a≠0，所以不管y是多少，x＝s/a都成立，而且是一條平行於y軸的直線，即鉛垂線。如下圖所示：
（五）當a≠0∧b≠0時，有：
因此，滿足式子ax＋by＝s的圖形是一條斜率為-（a/b），y軸截距為s/b的直線。這條直線既不是水平的，也不是鉛直的，而是一條傾斜的直線。如下圖所示：
討論完了所有的情況，我們再回頭來看聯立方程組。現在，重點來了，我們把①式和②式的五種情況同時放在一個表格裡來看：
我們仔細觀察上面的表格可以發現，標為紅顏色的「一點」，其實就是ad﹣bc≠0的幾種情況。但細心的你肯定已經觀察到了，表格裡還有一個問號，代表「傾斜直線與傾斜直線」的交集。根據條件，我們可以得到一個等式：
這個等式代表什麼呢？回顧我們的聯立方程組：
我們發現，經過變化可以得到：
我們看到，這就代表著兩條直線的斜率相等啊！
也就是說，ad－bc＝0代表了兩條直線斜率相等，也就是說這兩條直線是平行的，它們的交集就是空集；而ad－bc≠0代表兩條直線斜率不相等，所以它們最終會相交於一點，即聯立方程組有唯一解。
以最開始的聯立方程組為例：
這兩個方程，分別代表著兩條直線，在笛卡爾坐標系中就是：
講完這個的時候，我脫口而出：「也許本來就是兩個世界的人，怎麼可能以五百年前的回眸，換來今世的一次擦肩而過呢？」只見很多學生在下面竊笑！
五百年前的回眸要換來今世的一次擦肩而過，這可不是一件容易的事情哦！
祝大家學習快樂！