幻方，英語：Magic Square，又稱為魔方、方陣或魔術方陣，最早起源於中國，已有2千多年的歷史。宋代數學家楊輝稱之為縱橫圖，是一種將數字安排在正方形格子中，使每行、列和對角線上的數字和都相等，如下圖所示最小的、階數為3的幻方。
如果幻方可以包含實數，並且每一行和每一列的總和為1，則稱其為雙隨機矩陣（doubly stochastic matrix）。在數學中，尤其是在概率論和組合學中，雙隨機矩陣是平方矩陣，既是左隨機的又是右隨機的，即：
實際上，左右隨機的任何矩陣都必須是正方形的，矩陣中行和列必須相等。一個特定的示例是，該矩陣各處都有0，但每一列和每一行中只有一個1，這稱為置換矩陣。在線性代數中，每個n階的置換矩陣都代表了一個對n個元素（n維空間的基）的置換。當一個矩陣乘上一個置換矩陣時，所得到的是原來矩陣的橫行（置換矩陣在左）或縱列（置換矩陣在右）經過置換後得到的矩陣。
一個著名的定理說，每個雙隨機矩陣都可以作為置換矩陣的凸組合獲得。換句話說，這意味著置換矩陣「包含了雙重隨機矩陣的所有秘密」，更確切地說，可以用前者充分表徵後者。在幾何中，凸組合（convex combination）指點的線性組合，要求所有係數都非負且和為 1，此處的「點」可以是仿射空間中的任何點，包括向量和標量。
介紹了上面有關幻方的基本知識，現在可以來介紹一下一個稱為量子幻方（英語：Quantum Magic Square）的最新研究。最近，量子物理學家Gemma De las Cuevas和數學家Tim Netzer和Tom Drescher引入了量子幻方的新概念，並首次詳細研究了這種幻方的量子形式的性質。該最新研究成果論文發表在最近一期的《數學物理雜誌》上。
數學的魔力尤其體現在魔方上。在《數學物理學》雜誌的這篇新論文中，科學家們介紹了量子幻方的概念，它是幻方，但不同的是，它不是放在矩陣中的數字，這是一種非可交換性的魔方，是量子，但又是幻方的推廣。
該研究表明，量子幻方不能像「經典幻方」一樣容易地被表徵。更準確地說，量子幻方不是量子置換矩陣的凸組合。 「它們更豐富、更難以理解，」論文作者之一、數學家湯姆·德雷舍爾（Tom Drescher）解釋說， 「當研究對非可交換情況的概括時，這是一個綜合性的主題。」論文寫道：「這項工作處於代數幾何和量子信息的交匯處，展示了跨學科合作的優越性。」
有人可能會問，量子幻方概念的引入具體有什麼用呢？量子幻方的概念將可能對量子信息的深入表徵提供一個新的方向。
舉個例子具體說明，量子力學中有一個稱為量子準心靈感應的現象，也稱為量子偽心靈感應，英語：Quantum pseudo-telepathy，這一感應為量子力學中的一個重要現象：在某些具有非對稱信息的貝葉斯遊戲中，玩家可以訪問處於糾纏量子狀態的共享物理系統，並且能夠執行取決於糾纏物理系統上的測量結果的策略，與沒有進入糾纏量子系統的玩家在同一個遊戲的任何混合策略納什均衡中所能實現的相比，他們能夠在均衡中獲得更高的預期收益。
該感應通常用作思想實驗，以證明量子力學的非定域特徵，然而是一個現實世界的現象，可以通過實驗進行驗證，這是對貝爾不等式違反行為進行實驗確認的一個特別驚人的例子，著名的是Mermin–Peres幻方遊戲（Mermin–Peres magic square game）。該遊戲有兩名玩家，愛麗絲（Alice）與鮑伯（Bob），這是廣泛應用於密碼學和量子物理學領域的通用角色。
在遊戲開始，愛麗絲和鮑勃分開，之間無法通信，這是量子力學中常實驗的情況。該遊戲要求愛麗絲在帶有正和負的3x3表格的行中填充，鮑勃在列中填充。遊戲開始前，愛麗絲不知道她將需要填寫表格的哪一行；同樣地，鮑勃也不知道他將需要填寫哪一列。
愛麗絲被隨機分配到表格的一行，並要求在其中加正號和負號。同樣，鮑勃被隨機分配到表格的一列，並要求其用正號和負號填充。玩家必須滿足以下要求：愛麗絲填寫的行中的減號數必須成偶數；鮑勃填寫的列中的減號數必須成奇數。
重要的是，愛麗絲不知道鮑勃要求她填寫哪一列；同樣地，鮑勃也不知道愛麗絲要求他填寫哪一行。所以這個遊戲是具有不對稱、不完全信息的貝葉斯遊戲。
此遊戲可能會出現兩種結果之一：雙方都贏，或雙方都輸。如果愛麗絲和鮑勃在行和列共享的單元格中放置了相同的符號，則他們將贏得比賽。如果他們放置相反的標誌，則將輸掉比賽。雙方都同時放置正和負，直到遊戲結束，雙方都看不到對方放置符號的位置。
很容易證明，在這種經典的遊戲形式中，沒有任何策略（如納什均衡或其它方法）允許玩家以大於8/9的概率贏得比賽。如果愛麗絲和鮑勃在比賽開始之前相遇並交換信息，則不會以任何方式影響比賽，玩家能做的最好的還是以8/9的概率獲勝。
如果對遊戲進行修改允許愛麗絲和鮑勃在發現分配給他們的行/列之後進行通信，那麼將存在一組量子準心靈感應策略，愛麗絲和鮑勃就可以在沒有交流的情況下贏得比賽。
這要求愛麗絲和鮑勃擁有兩對糾纏的粒子。這些粒子必須在遊戲前準備好。其中一個粒子由愛麗絲保持，另一個由鮑勃保持。當愛麗絲和鮑勃了解到他們必須填充哪個列和行時，每個人都使用該信息來選擇他們應該對粒子進行哪些測量。測量結果對它們每個似乎都是隨機的，觀察到的任一粒子的部分概率分布將獨立於另一方執行的測量，因此不會發生真正的「通信」。
但是，測量粒子的過程在測量結果的聯合概率分布上施加了足夠的影響，因此，如果愛麗絲和鮑勃根據其測量結果選擇其動作，則將存在一組策略和測量值，獲勝的可能性為百分之百。
注意，愛麗絲和鮑勃可以相距相當遙遠，而且糾纏的粒子仍將使他們能夠充分協調其動作，從而確定性地贏得比賽。該遊戲的每一輪都用盡一個糾纏狀態。進行N輪比賽需要提前共享N個糾纏態（2N個獨立的貝爾對）。這是因為每個回合都需要2位信息進行測量，這會破壞糾纏。
其中訣竅是讓愛麗絲和鮑勃共享一個糾纏的量子態，並在糾纏態的各個分量上使用特定的度量來導出表徵，合適的相關狀態由一對糾纏的貝爾狀態組成：
其中，|+和|-是泡利算符Sz的本徵態，其特徵值分別為+1和-1，而下標a、b、c、d標識每個貝爾狀態的組成部分，其中a和c屬於愛麗絲，b和d屬於鮑勃。圈裡一個x號表示張量積，這些成分的可觀測值可以表示為下面的泡利自旋矩陣的乘積。
這些泡利自旋算子的乘積可用來填充3×3表格，使得每一行和每一列包含特徵值+1和-1的相互可交換的可觀察值集，並且每一行的可觀察值的乘積是恆等算符，而且每列中可觀察值的乘積等於減去恆等算符，這就是如下表所示所謂的Mermin–Peres幻方。
實際上，雖然不可能構造具有+1和-1的3×3表以使每行中元素的乘積等於+1而每列中元素的乘積等於-1，但是可以使用基於自旋矩陣的更豐富的代數結構來實現。
通過讓每個玩家在每局比賽中對其纏結狀態的一部分進行一次測量來進行比賽，愛麗絲的每一個測量值都會為她提供一行的值，而鮑勃的每一個測量值都會為他提供一列的值。之所以可以這樣做，是因為給定行或列中的所有可觀測對象都處於通信狀態，因此存在可以同時測量它們的基礎。
參考：Quantum magic squares: Dilations and their limitations,Journal of Mathematical Physics(2020).DOI: 10.1063/5.0022344