歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，直角坐標系中出現菱形，是一種很正常的現象，就像坐標系中出現平行四邊形或三角形，體現函數與幾何綜合，一直都是初中數學的一個特色。今天我們就來說一說，一次函數與菱形的存在性問題.
【方法梳理】
解題方法與函數中平行四邊形的存在性問題相同，有代數論證方法，也有幾何論證方法；
1.代數方法：以已知點所在線段分別為菱形的對角線，分三種情況進行分類討論，再利用菱形的鄰邊相等列方程求解；
2.幾何方法：先明確圖形，可依據題目條件特點畫圖，也可以採用利用「菱形對角線互相垂直平分」這一性質畫圖：以已知點所在線段為菱形的對角線，作該線段的垂直平分線，另兩點就在這條垂直平分線上。依圖再解答。
【典型例題】
例1.如圖，已知菱形OABC的頂點O（0，0），B（2，2），若菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為____
【解析】利用菱形性質「對角線互相平分」性質、中點坐標公式及旋轉性質解題。菱形OABC的頂點O（0，0），B（2，2），得D點坐標為（1，1）．每秒旋轉45°，則第60秒時，得45 °×60=2700°，2700°÷360=7.5周，OD旋轉了7周半，菱形的對角線交點D的坐標為（﹣1，﹣1），
例2.如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，點E、F同時由A、C兩點出發，分別沿AB、CB方向向點B勻速移動（到點B為止），點E的速度為1cm/s，點F的速度為2cm/s，經過t秒△DEF為等邊三角形，則t的值為____
【解析】利用菱形性質運用中「出現特殊角必出現特殊三角形」這一解題經驗，證△DAE和≌DBF，即可求解；連接BD，則△ADB是等邊三角形，在△DAE和△DBF中，∠DBF=∠A=60°，AD=BD，∠ADE=∠BDF（共角模型），∴△DAE和≌DBF（ASA），∴AE=BF，∴BE=CF，∵AE=t，BE=CF=2t，∴AB=4t，∴3t=4，∴t=4/3.
例3.如圖，在直角坐標中，A（-4，0），B（0，2），C（0，-2），點P是射線AB上的動點。
（1）求直線AB的解析式；
（2）設P（x,y），△PAC的面積為S，求S與x的函數關係式；
（3）在x軸上有一動點Q，是否存在點Q，使得以A、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由。
【解析】
（1）「待定係數法」即可求解；
設直線AB的解析式為：y=kx+b，代入A（-4，0），B（0，2），可得：-4k+b=0、b=2，解得k=0.5，b=2,∴直線AB的解析式是y=0.5x+2.
（2）由直線AB的解析式可知P的坐標為(x,0.5x+2)，由於P在射線AB上，故要分二種情形討論：P點在線段AB上時、P點在B點右側時，再線段求面積方法的「補割法」列式，即可求出S與x的函數關係式；由題可知：P的坐標為(x,0.5x+2)，BC=4，OA=4，
∴綜上所述，S與x的函數關係式為S=8+2x.
（3）∵P點在射線AB上，Q點在x軸上，故AC只能作為菱形的邊，以A、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形時，只存在一種情形，∵OB=OC，BC⊥AQ，∴當點P與B點重合時，四邊形ACQP是菱形，此時OA=OQ，故Q點坐標為（4，0）.
例4.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，OB=OC=6，AB=10.
（1）求D點的坐標．
（2）若點P是直線CD上的一點，當點P滿足△PAO與△ABO的面積比為3：2時，求P點的坐標．
（3）若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點的坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】
（1）利用平行四邊形對邊相等及平行線間的距離處處相等，即可求出D點坐標；∵OB=6，AB=10，∴OA=8，∵AD=BC=6，∴D（12，8）
（2）利用△PAO與△ABO的面積比，可求出△PAO的面積，進而可求出△PAO的高，即點P的橫坐標，代入直線CD的解析式中，即可求出P點的坐標；
（3）菱形的分類討論有兩種方法：幾何論證方法和代數論證方法，此題代數論證方法最快。
【提醒】
具體解題中，不要局限於單純一種方法去解題，可以把幾何論證方法與代數論證方法結合解題，先用幾何論證方法，把簡單易想的圖形找出來，難的情況留給用代數論證的方法來解決；
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