用好空間向量使立體幾何問題求解更容易

2020-11-28 騰訊網

幾何求解方法需要一定的想像能力，就像歐幾裡得的幾何問題求解過程，很多題目不具備通用的方法，有時候需要一些「奇思妙想」。有些幾何問題，我們建立坐標系就可以比較方便地求解，坐標系是一個將幾何問題和代數問題之間建立聯繫的非常好的工具。

平面直角坐標系中的向量是二維向量，二維向量可以用於表示平面中的直線或線段，可以有效地將平面幾何問題轉化為三角函數和其他代數問題。實際生活中應用到的幾何問題更多地是立體幾何，立體幾何問題的求解同樣可以用向量方法來簡化，這時用到的向量便是空間向量。

空間立體坐標系有三個互相垂直的坐標軸，於是空間中的任意一個點也都需要用三個坐標值表示(x,y,z)。向量的坐標運算法則與平面向量類似，向量的坐標可用終點坐標減去起點坐標，於是空間向量在空間立體坐標系中也需要三個坐標值來表示。

空間向量之間的加法，就是兩個向量對應坐標相；空間向量與數字的乘積的結果就是向量各個坐標值與數字的乘積；空間向量的數量積，仍然是向量對應坐標乘積之和。

幾何方法或許難以證明兩個異面直線之間的位置關係，但用向量的方法就比較方便了。向量坐標乘積之和為零的兩個向量互相垂直，否則可以藉助於數量積的定義，求出兩個向量之家的夾角，進而求出兩個直線之間的角度關係。

三維立體幾何中，用向量的方法也更方便求取兩個平面之間的夾角、直線與平面之間的夾角，用與平面垂直的向量(即法向量)來代替平面進行計算即可。

學習空間向量與立體幾何，最重要的一點是要學會用向量代替直線或平面，利用向量的坐標運算簡化幾何問題。

本文由小朱與數學原創，歡迎關注，帶你一起長知識！

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