立體幾何奇妙一招:如何速算平面的一個法向量?

2021-03-02 許興華數學

（南寧三中  許興華數學）

【摘要】在大學裡矩陣和行列式的非常重要的作用就是解方程組了，矩陣那部分是用初等變換法解方程組，行列式這裡就是克萊母法則了，同學們要記牢！正如牛頓最早使用有向線段表示向量一樣，萊布尼茨在1693年給洛必達的信中就已經使用了行列式，對行列式的貢獻和影響比他人大一些。但就寫作時間而言，最早提出行列式的概念的是日本數學家關孝和，比萊布尼茨早十年。

在立體幾何的空間向量方法中，我們用得最多的一種計算就是：求一個平面的法向量n。

    現在我們就來給大家簡要地介紹「用行列式的方法求平面的法向量」。

現在我們就來給大家簡

上面的知識點屬於大學數學內容，大家都沒有學過。看起來是不是很複雜？大家基本上沒有看懂，是嗎？

沒關係的！只要你認真閱讀下去，下面老師就讓你逐步掌握這種方法。用這種方法求平面的法向量的特點是：簡單明了，不易出錯！

     那麼，如何利用行列式來求平面的一個法向量呢？

具體說來，有以下一些重要知識點：

（1）二階行列式的計算：四個數排成兩行兩列，就稱為一個「二階行列式」。

上面右圖中的紅色實線叫做「主對角線」，黑色虛線叫做「次對角線」。

所以，上面左圖的式子的含義是：二階行列式的值等於「主對角線」兩數的乘積減去「次對角線」兩數的乘積的差。

（2）簡單的三階行列式：九個數排成三行三列，就稱為一個「三階行列式」（如下圖）

（3）如下圖3，如果我們要快速求平面ABC的法向量，如何求呢？

（4）公式的簡單應用：

說明：在具體運用中，由於（-2,-4,-2）=-2(1,2,1)，為了計算簡便，上面例1的法向量u可取為(1,2,1).

（5）鞏固知識練習題：

（用上面介紹的求平面法向量的方法求解下列三個題目）


歡迎關注微信公眾號"許興華數學":

相關焦點

  • 每天一類題——求平面的法向量
    今天開始我們來分析研究立體幾何中的一些具體問題。先從可以建系的題目來分析。
  • 用好空間向量使立體幾何問題求解更容易
    幾何求解方法需要一定的想像能力，就像歐幾裡得的幾何問題求解過程，很多題目不具備通用的方法，有時候需要一些「奇思妙想」。有些幾何問題，我們建立坐標系就可以比較方便地求解，坐標系是一個將幾何問題和代數問題之間建立聯繫的非常好的工具。
  • 向量方法解決立體幾何問題
    立體幾何是高考數學每年必考的大題，牽涉的問題也有很多。比如：線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直、異面直線所成的角度、直線與平面所成的角度、平面與平面所成的角度等。一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，我們稱直線與平面垂直；用向量法：證明直線L的方向向量與平面的法向量共線；面面平行：定義：兩個平面沒有公共點；面面平行判定定理1：如果兩個平面垂直於同一條直線，那麼這兩個平面平行；面面平行判定定理2：如果一個平面內有兩條相交的直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；面面平行判定定理3
  • 速求平面的法向量
    經過一個多月的休整，小編又回來了，接著，我仍將帶領大家進入神奇的數學世界裡！！實際上暑假期間，小編也沒有好好休息，因為小編所在學校是縣級的高中，所以假期還要到學校給孩子們上課，俗稱補課，廉價的勞動力啊！！在給孩子們上課的時候，內容是利用空間向量解決立體幾何問題，在這塊問題中，遇見直線找方向向量，遇見平面選擇法向量是最直接的解題思路。
  • 位置向量、投影向量、方向向量、法向量與直線的點法/向式方程
    大家都知道解析幾何中，直線的方程有一般式、點斜式、斜截式、兩點式、截距式、交點式這6種表示形式，也知道在空間立體幾何通過平面的法向量求線面角或二面角的平面角相對容易些
  • 2020高考數學重難點突破:立體幾何與空間向量,教研二輪複習推薦
    今天給大家帶來的是「備戰2020高考數學」優質內容：立體幾何與空間向量。通過研究高考考綱，結合同學們的失分點，整理出了這份備考資料，希望能夠幫大家解決一些疑難點。請大家繼續往下閱讀正文。5．證明直線與平面垂直的思考途徑6．證明平面與平面的垂直的思考途徑7．空間向量的加法與數乘向量運算的運算律8．平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等於以這三個向量為稜的平行六面體的
  • 高中數學,(平面向量)高中數學平面向量基本定理及坐標表示
    向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，並且是解決幾何問題中的一種有力工具。向量概念引入後，全等和平行、相似、垂直、勾股定理就可以轉換成向量的加減法、數乘向量、數量積運算，從而將圖形的基本性轉化為向量的運算體系。我們理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數乘。
  • 26、平面向量基本定理 及向量的坐標表示
    常用結論考點自測平面向量基本定理的應用思考用平面向量基本定理解決問題的一般思路是什麼?1.應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,再通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件,把相關向量用這一組基底表示出來.平面向量的坐標運算思考利用向量的坐標運算解決問題的一般思路是什麼?
  • 【方法指導】向量叉乘簡單粗暴解決空間立體幾何問題
    ，空間距離，以及空間法向量，空間體積時，如果採用綜合法一般難度較大，通常我們會採取空間向量來處理，而我們一般的空間向量解法有時因為運算量大，導致我們的結果的準確性會受到影響。今天，我們給大家帶來的是藉助於向量中的另一種乘法外積，也叫叉乘來讓我們處理空間立體幾何問題的過程簡單而粗暴。       向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用十分廣泛，通常運用於物理學光學和計算機圖形學中。
  • 27、平面向量的數量積與平面向量的應用
    常用結論考點自測平面向量數量積的運算思考求向量數量積的運算有幾種形式?解題心得1.求兩個向量的數量積有三種方法:(1)當已知向量的模和夾角時,利用定義求解,即a·b=|a||b|cos θ(其中θ是向量a與b的夾角).
  • 高考數學倒計時,立體幾何有關的題型是必考熱點
    高考數學倒計時, 立體幾何有關的題型是必考熱點，典型例題分析1：如圖，在底面為梯形的四稜錐S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=√2，SA=SC=SD=2．（Ⅰ）求證：AC⊥SD；（Ⅱ）求三稜錐B﹣SAD的體積．
  • 使用法向量求二面角,需要知道這點,否則得到的結果不一定正確
    圖一對於立體幾何中求二面角，只有兩種方法：一是常規方法，即過其中的一個面上的點A作另一個面垂線，交於底面與B，在過該點B作兩個面交線的垂線交於垂線於C，連接AC，則∠ACB就是要找的二面角；二是法向量法，即分別求出兩個面的法向量
  • 《空間解析幾何與向量代數》知識點、公式總結
    並且平面的法向量為n=(A,B,C)，任何滿足方程的x,y,z的值構成在有序對(x,y,z)對應的點都為該方程描述的平面上的點。【注】：法向量的哪兩個分量為零，則該平面平行於這兩個分量對應的坐標軸構成的坐標面。
  • 向量代數與空間解析幾何終結篇:結束代數與幾何
    向量代數與空間解析幾何算是比較費腦的一章，因為圖形要動腦來想。所以對於空間想像力弱的同學，學習這一章就很痛苦。但是這也沒有辦法，這也是為了後來的多元積分做鋪墊，扛過去就好了。（1）在平面解析幾何中，方程組表示兩直線的交點；在空間解析幾何中，方程組表示兩平面的交線。（2）在平面解析幾何中，方程組表示橢圓與一直線的交點；在空間解析幾何中，方程組表示橢圓柱面與平面的交線。2.
  • 高考數學全國二卷,解析幾何與立體幾何哪個更難?
    全國二卷解析幾何大題的位置改到了立體幾何前面，這是繼09年新課改之後的第一次變化。2019年是否延續上一年的變化？我們還不得而知。一直以來解析幾何作為壓軸大題。得分率都是非常低的。而如果在今年2019年像2018年一樣，仍然將解析幾何放在立體幾何之前。那是不是就可以說解析幾何作為壓軸大題的可能性不大了。如果立體幾何的難度也不大的話，那麼導數成了唯一一個壓軸大題了。
  • 高中數學平面向量-三角形面積公式拓展
    三角形面積公式相必大家都已經很熟知（一個是底乘高除二，一個是三角函數公式），覺得這塊內容很簡單；但是如果把三角形放在平面直角坐標系內，還是一個不規則三角形的話，求其面積的難度就被大大增加了。很多考題曾經出現過這樣的情況，難倒了不少考生。
  • 2月14日《平面向量基本定理》資料
    通俗地說，平面向量基本定理的內容為，兩不共線向量可擴展成任意向量，而且擴展方式是唯一的.
  • 高中數學說課稿:《平面向量》
    平面向量說課稿各位評委,老師們:大家好!,也充分考慮到了這一點.下面我從教材分析,教學目標的確定,教學方法的選擇和教學過程的設計四個方面來匯報我對這節課的教學設想.一教材分析(1)地位和作用向量是近代數學中重要和基本的概念之一,有著深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入後,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以轉化為向量的加(減)法,數乘向量,數量積運算(運算率),從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系.向量是溝通代數
  • 教學研討|3.1.5 空間向量運算的坐標表示
    (二)過程與方法:1、通過類比平面向量運算的坐標表示得到空間向量運算的坐標表示,掌握其運算規律,並滲透類比的思想;2、通過例題和練習讓學生掌握用坐標法解決立體幾何問題的一般步驟,體會向量法在研究空間圖形中的作用,培養其空間想像能力和幾何直觀能力.
  • 高二數學立體幾何大題的八大解題技巧
    2空間角的計算方法與技巧　　主要步驟：一作、二證、三算;若用向量，那就是一證、二算。　　(1)兩條異面直線所成的角①平移法：②補形法：③向量法：　　(2)直線和平面所成的角　　①作出直線和平面所成的角，關鍵是作垂線，找射影轉化到同一三角形中計算，或用向量計算。