常用結論
考點自測
平面向量基本定理的應用
思考用平面向量基本定理解決問題的一般思路是什麼?
1.應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.
2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,再通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件,把相關向量用這一組基底表示出來.
平面向量的坐標運算
思考利用向量的坐標運算解決問題的一般思路是什麼?
解題心得求解向量坐標運算問題的一般思路
(1)向量問題坐標化
向量的坐標運算,使得向量的線性運算都可用坐標來進行,實現了向量運算完全代數化,將數與形緊密結合起來,通過建立平面直角坐標系,使幾何問題轉化為數量運算.
(2)巧借方程思想求坐標
向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數乘運算法則進行,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求出向量的坐標,求解過程中要注意方程思想的運用.
(3)妙用待定係數法求係數
利用坐標運算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐標,再用待定係數法求出係數.
平面向量共線的坐標表示
思考向量共線有哪幾種表示形式?兩向量共線的充要條件有哪些作用?
解題心得1.向量共線的兩種表示形式
設a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥ba=λb(b≠0);②a∥bx1y2-x2y1=0.至於使用哪種形式,應視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標的應用②.
2.兩個向量共線的充要條件的應用
判斷兩個向量是否共線(或平行),可解決三點共線的問題;另外,利用兩個向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數的值.
要點歸納小結
1.只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對基底的選取不唯一,平面內任意向量a都可以用這個平面的一組基底e1,e2線性表示,且在基底確定後,這樣的表示是唯一的.
2.平面向量基本定理的本質是運用向量加法的平行四邊形法則,將向量進行分解.
3.向量的坐標表示的本質是向量的代數表示,其中坐標運算法則是運算的關鍵,通過坐標運算可將一些幾何問題轉化為代數問題處理,從而用向量可以解決平面解析幾何中的許多相關問題.
4.在向量的運算中要注意待定係數法、方程思想和數形結合思想的運用.
5.要注意點的坐標和向量的坐標之間的關係,向量的終點坐標減去起點坐標就是向量坐標,當向量的起點是原點時,其終點坐標就是向量坐標.
6.若a,b為非零向量,當a∥b時,a,b的夾角為0°或180°,求解時容易忽視其中一種情形而導致出錯