#高中數學#
01引言
向量是高中數學一大模塊的知識點，同時向量也是高中數學解答數學的有利的武器。
例如，難以解決的立體幾何使用向量後，高考中的立體幾何大題幾乎就變成了送分題；
三角函數中積化和差公式的證明使用向量後，不僅簡化了步驟，還易於理解等等。
可見學好向量的重要性！
今天就從六大模塊出發突破向量的各個方面的知識以及各模塊對應例題的解析。
02突破點一：平面向量的線性運算
第一，簡單運算。
應用平面向量的加法、減法和數乘運算的法則即可。
注意事項：
加法的三角形法則要求「首尾連接」，加法的平行四邊形法則要求「起點相同」；
減法的三角形法則要求「起點相同」且差向量指向「被減向量」；
數乘運算的結果仍然是一個向量，運算過程可類比實數運算。
第二，用已知向量表示位置向量。
結合圖形中各向量的位置關係，將未知向量表示為兩個向量的和或差，再將這兩個向量逐步分解為可以用已知向量表示的形式，整理即可。
第三，已知運算結果求參數的值。
結合圖形，利用向量的線性運算將向量表示出來，利用向量相等確定參數的值。
第四，向量線性運算的幾何性質。
①根據向量加法的法則可知，在三角形ABC中，向量AB+向量AC=2·向量AD（D為BC邊中點），反之也成立。
在平行四邊形中，共起點的兩個向量的和與差分別是兩條對角線表示的向量，注意向量的方向。
②G為三角形ABC的重心等價於向量GA+向量GB+向量GC=0向量。
例題，設D為三角形ABC所在平面內的一點，向量BC=3·向量CD，則下列正確的是？
A.向量AD=－1/3·向量AB+4/3·向量AC；
B.向量AD=1/3·向量AB－4/3·向量AC；
C.向量AD=4/3·向量AB+1/3·向量AC；
D.向量AD=4/3·向量AB－1/3·向量AC。
［解析］因為向量BC=3·向量CD，則有
向量AC－向量AB=3(向量AD－向量AC).
整理，得3向量AD=－向量AB+4向量AC，所以向量AD=－1/3·向量AB+4/3·向量AC。
所以答案選A。
03突破點 二：平面向量的共線問題
第一，對於向量a（a≠0向量），b向量，若存在實數λ，使得向量b=λ·向量a，則向量a與向量b共線（也是平行）。
第二，證明三點共線問題。
可利用向量共線解決，但需要注意向量共線與三點共線的區別與聯繫。
當兩個向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線等價於向量AB和向量AC共線。
第三，向量OC=λ·向量OA+μ·向量OB（λ，μ為實數），若A,B,C三點共線，則λ+μ=1，特別地，當λ=μ=1/2時，C為線段AB的中點。
若已知向量共線求參數數值，則可由已知條件與上述依據的對應性，通過解方程求解。
例題，設向量a,b不平行，向量λ·a+b與a+2·b平行，則實數λ=？
［解析］因為向量a與向量b不平行，所以向量a+2b≠0.
因為λ·a+b與a+2·b平行，所以設λ·a+b=t·(a+2·b)。
展開，得λ·a+b=t·a+2t·b，根據係數對應相等，則有λ=t，2t=1，得到t=1/2，λ=1/2.
所以實數λ=1/2.
04突破點三：平面向量基本定理的應用
第一，基地的選擇。
一組基底有兩個向量；
這兩個向量不同線。
例題，如果e1,e2是平面α內一組不共線的向量，那麼下列四組向量中，不能作為平面α內所有向量的一組基底的是哪項？
A.e1與e1+e2
B.e1－2e2與e1+2e2
C.e1+e2與e1－e2
D.e1+3e2與6e2+2e2
［解析］選項A中，設e1+e2=λe1，根據對應係數相等，則有λ=1,1=0——無解，所以選項A中的兩個向量不共線，可以作為基底。
選項B中，設e1－2e2=λ(e1+2e2)，根據係數相等，則有λ=1，－2=2λ——也無解，所以選項B中的兩個向量也不共線，可作為基底。
選項C中，設e1+e2=λ(e1－e2)，根據係數對應相等，則有λ=1，1=－λ——也無解，所以選項C中的兩個向量也不共線，可作為基底。
選項D中，e1+3e2=1/2(6e2+2e2)——共線，所以這兩個向量不能作為基底。
綜上所述，不能作為基底的為選項D.
第二，用基底表示其他向量。
只要有三種方法來表示：
方法一：通過觀察圖形直接尋求向量之間的關係。
具體步驟：
第一步，觀察待求向量所在的三角形或者平行四邊形，利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則先將待求向量表示成兩個或者多個相關向量a,b或者a,b,c,…的和或者差；
第二步，把向量a,b或者a,b,c,…,分別進行計算，直到用基底表示出向量a,b或者a,b,c,…；
第三步，將a,b或者a,b,c,…代入第一步的式子中，從而得出結果。
方法二：採用方程思想。
一般步驟：
第一步，把待求向量看作未知量；
第二步，列出方程組；
第三步，用方程組的方法求解待求向量。
方法三：建立直角坐標系，根據向量的坐標運算求解。
一把步驟：
第一步，建立適當的平面直角坐標系；
第二步，把基底向量e1,e2,待求向量m的坐標分別表示出來；
第三步，設向量m=x·向量e1+y·向量e2；
第四步，根據向量e1,e2,m的坐標列出相應的方程組，求出x,y，問題即可解決。
例題，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上的一點，且向量AE=4·向量EC，則向量DE=?
A.3/4·向量AB－1/4·向量AD
B.3/4·向量AB+1/4·向量AD
C.4/5·向量AB－1/5·向量AD
D.4/5·向量AB+1/5·向量AD
［解析］由向量AE=4向量EC，則有向量AE=4/5·向量AC=4/5(向量AB+向量AD).
因為向量DE=向量AE－向量AD，則有
向量DE=4/5(向量AB+向量AD)－向量AD
=4/5·向量AB－1/5·向量AD。
所以該題的答案選C.
第三，解決幾何相關問題——主要在立體幾何中的應用。
第一步，選擇一組基底——一般都是這兩個基底相互垂直；
第二步，運用平面向量基本定理條件和結論把要求的直線表示成向量的形式；
第三步，通過向量的運算來證明兩條直線共線或者兩條直線垂直以及所成角的大小等相關問題。
在立體幾何中證明線面角的時候，需要將直線表示成向量的形式，再將面用兩個相交直線所表示的向量表示出來，在求出其該面的法向量，最後求出該直線向量和法向量的夾角從而得線面角。
如果是兩個面的夾角就是分別求出兩個面的法向量，再求出這兩個法向量的夾角，從而求出二面角。
使用法向量求二面角，需要知道這點，否則得到的結果不一定正確
05突破點四：平面向量的坐標表示與運算
第一，求平面向量的坐標。
平移法：將向量的起點移至坐標原點，終點坐標即為向量的坐標；
相減法：用表示向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。
例題，已知向量a=(1,m)，向量b=(3,－2)，且(向量a+向量b)⊥向量b，則m=?
A.－8
B.－6
C.6
D.8
［解析］根據向量坐標的加法，則有向量a+向量b=（4，m－2）.
因為(向量a+向量b)⊥向量b，則(向量a+向量b)·向量b=0.
因為向量b=(3,－2)，向量a+向量b=（4，m－2），則有
（4，m－2）·(3,－2)=12+（m－2）·(－2)=0，解得到m=8.
所以答案選D.
第二，平面向量的坐標運算。
主要依據相關公式計算即可。
①已知點A(x1,y1),B(x2,y2)，則向量AB=（x2－x1,y2－y1）.
向量AB模的計算，即|AB|=√［(x2－x1)^2+(y2－y1)^2］.
②已知向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則有
向量a+向量b=（x1+x2,y1+y2）;
向量a－向量b=(x1－x2,y1－y2)；
λ·向量a=（λx1,λx2）；
向量a∥向量b，則有x1·y2－x2·y1=0；
向量a⊥向量b，則有x1·x2+y1·y2=0.
例題，設向量a=(m,1)，向量b=(1,2)，且|向量a+向量b|^2=|向量a|^2+|向量b|^2，則m=？
［解析］因為向量a=(m,1)，向量b=(1,2)，則有向量a+向量b=(m+1,3)，則有
|向量a+向量b|^2=(m+1)^2+9.
|向量a|^2=m^2+1，|向量b|^2=5，則|向量a|^2+|向量b|^2=m^2+6.
又|向量a+向量b|^2=|向量a|^2+|向量b|^2，則有(m+1)^2+9=m^2+6，解得到m=－2。
06總結
該文章主要講解了向量的線性運算和平面向量的基本定理的運算以及向量的坐標乘積。
內含有上幾個方面的知識點，是需要我們重點掌握的。
在運用上主要是在立體中的運用，可以簡化立體幾何的抽象性，大大的降低了立體幾何抽象化的難度。
再就是立體幾何坐標的運算，常見的兩個向量的平行和垂直條件的轉化。
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