向量在三角函數中運用,求bc最小值?不是最大值!要這樣轉化才行

2021-01-15 玉w頭說教育

01原題再現

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且（cosA）^2+cosA·cos(C－B)=sinB·sinC。

⑴求角A；

⑵若△ABC的內切圓面積為π，當向量AB·向量AC取最小值時，求△ABC的面積。

圖一

這道題的第一問是求三角函數的角A度數大小，而角A的大小就是要從式子（cosA）^2+cosA·cos(C－B)=sinB·sinC入手得出結論。

那式子（cosA）^2+cosA·cos(C－B)=sinB·sinC又該如何變形呢？

這裡需要具有構建的思想，而三角函數構建的思想：

要麼就是結合正弦定理變形，要麼就是結合餘弦定理進行變形。

而這道題這兩種構建不行是不行的，那該怎麼辦呢？

我們只能以簡化該式子為出發點進行變形。

簡化的方法就是根據兩角積化和差公式的特點入手，將cosA轉化成cos(B+C)的形式與cos(C－B)進行消元化簡。

而第二問是求當向量AB·向量AC最小值時三角形ABC面積的數值，這需要找到向量AB·向量AC最小值時所具備的條件，該條件也是得出三角形ABC面積值的關鍵。

而要求出向量AB·向量AC最小值時所具備的條件，需要藉助與圓面積公式和三角形內切圓的性質。

具體做法我們一起看看吧。

02第一問解答

第一問要求解的是角A的大小。

需要轉化式子（cosA）^2+cosA·cos(C－B)=sinB·sinC。

圖二

第一步，提出cosA.

因為（cosA）^2+cosA·cos(C－B)=sinB·sinC，則有cosA·［cosA+cos(C－B)］=sinB·sinC。

第二步，將cosA變形。

因為角A是三角形ABC的內角，所以角A=180度－（C+B）。

根據誘導公式，則有cosA=cos［180度－（C+B）］=－cos(C+B)。

則cosA·［cosA+cos(C－B)］=cosA·［cos(C－B)－cos(C+B)］.

根據積化和差公式，則有

cosA·［cos(C－B)－cos(C+B)］

=cosA·［cosC·cosB+sinC·sinB－cosA·cosB+sinC·sinB］

=cosA·2·sinC·sinB

綜上所述，則有cosA·2·sinC·sinB=sinB·sinC。

第三步，得出角A的度數。

因為角A，B，C都是三角形ABC內角，則sinB·sinC≠0，所以有2cosA=1，即cosA=1/2。

因為角A是三角形內角，所以角A=π/3.

03第二問解答

第二問要求的是當向量AB·向量AC取最小值時三角形ABC的面積。

該題的關鍵就是求出向量AB·向量AC取最小值時的條件，再根據這一條件得出三角形ABC的面積。

第一步，將向量AB·向量AC表示出來。

根據向量的數量積，則有向量AB·向量AC=|AB|·|AC|·cosA。

因為角A=π/3，則向量AB·向量AC=1/2·|AB|·|AC|。

又因為三角形ABC的三邊為a,b,c，且它們對應A,B,C三個角，則有向量AB·向量AC=1/2·bc.

則求出向量AB·向量AC的最小值就是求bc的最小值，求bc的最大值我們知道用基本不等式，那求bc的最小值，沒有對應的基本不等式，又該怎麼求呢？

需要得出關於b和c的等式，再根據不等式將式子轉化成以bc為自變量的不等式，從而求出bc的最小值。

第二步，根據餘弦定理得出關於b、c的等式。

根究餘弦定理，則有a^2=b^2+c^2－2bc·cosA，因為角A=π/3，則有a^2=b^2+c^2－bc①。

第三步，根據三角形面積再次得出b、c的關係式。

圖三

因為三角ABC的內切面積為π，根據圓的面積公式，則圓的半徑為1.

設該圓的圓心為I，與三角形ABC的邊長AB、AC相切於D、E兩點。

又因為角A=π/3，則AI=2，AD=AE=√3.

又因為DI=FI，則有BD=BF。

又因為FI=EI，則有FC=EC。

所以b+c－a=2√3②.

第四步，根據①②得出只含有b、c的關係式。

由②得a=b+c－2√3，代入到①中，則有

(b+c－2√3)^2=b^2+c^2－bc，整理得到

4√3+√3bc=4(b+c)。

第五步，根據基本不等式得bc的最小值。

根據基本不等式，則有

4√3+√3bc=4(b+c)≥8√bc.

設bc=t，則有4√3+√3t≥8√t，即4√3+√3t－8√t≥0.

解得到，t≥12或者0<t≤4/3.

又因為b>√3，c>√3，所以bc≥12，0<t≤4/3捨去。

即向量AB·向量AC的最小值為6，若且唯若b=c時等號成立。

此時三角形ABC的面積S△ABC=1/2·bcsinA=3√3.

04總結

該題需要注意的是第一問中的cosA的轉化以及常轉化的條件。

第二問需要注意的是b和c關係等式得獲得，一個是根據餘弦定理得到，一個根據三角形內切圓獲得。

根據上述的兩個等式得出只含有bc的等式，再根據基本不等式轉化成以bc為未知量的不等式，從而求出bc的最小值——這也是求這道題bc最小值的方法，也是該題解題的關鍵。

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