01引言
前面講了向量的線性運算和平面向量的基本定理的四大突破點，內含有較多的知識點以及注意事項和對應的出題模式。
今天我們繼續講解向量的數量積以及應用！
這塊的內容主要考察的是向量數量積的運算，以及利用數量積去解決垂直、模或者夾角等問題。
這塊的內容一般都會以選擇題或者是填空題的形式出現，分值不是很大，但是卻不可少。
下面就六大突破點帶你學好這塊內容。
02突破點一：平面向量的數量積運算
第一，利用坐標計算數量積。
第一步，根據共線、垂直等條件計算出這兩個向量的坐標，求解過程要注意方程思想的應用；
第二步，根據數量積的坐標公式進行計算即可。
第二，根據定義計算數量積。
求向量a和向量b的數量積a·b，有以下不用的兩種思路：
①若兩個向量共起點，則向量的夾角直接可以獲得，根據定義就可以求得到數量積；
若兩個向量的起點不同，需要通過平移使他們的起點重合，然後再計算。
②根據圖形之間的關係，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量a,b，然後再根據平面向量的數量積的定義和性質進行計算。
第三，向量a在向量b方向上的投影。
利用定義：即向量a在向量b方向上的投影為|a|cos＜a,b＞;
利用數量積：即向量a在向量b方向上的投影為(a·b)/|b|.
註：兩個不同的表示形式，結果是相等的。
第四，根基數量積求參數的值。
若已知兩平面向量的數量積，則根據坐標公式或定義列出含有參數的數量積的等式，再解方程即可。
例題，在△ABC中，∠A=60度，AB=3，AC=2.
若向量BD=2·向量DC，向量AE=λ·向量AC－向量AB（λ∈R），且向量AD·向量AE=－4，則λ的值為多少？
［解析］因為向量BD=2·向量DC，則向量BD=2/3向量BC。
又因為向量AD=向量AB+向量BD，所以向量AD=向量AB+2/3·向量BC。
因為向量BC=向量AC－向量AB，則向量AD=向量AB+2/3·（向量AC－向量AB）。
整理得到向量AD=1/3向量AB+2/3向量AC.
因為∠A=60度，AB=3，AC=2，則有向量AB·向量AC=3.
所以有向量AD·向量AE=(1/3向量AB+2/3向量AC)·(λ·向量AC－向量AB)
=－1/3·|AB|^2+(1/3·λ－2/3)·向量AB·向量AC+2/3·λ·(向量AC)^2
=11λ/3－5=－4，則λ=3/11。
03突破點二：平面向量數量積的取值範圍及最值問題
涉及考查平面向量線性運算和數量積的運算問題時，一般可以通過構建坐標系，使得向量運算完全代數化，同時將數量積的最大值問題轉化成為函數的最大值的問題，從而藉助函數求最大值的方法求出該向量數量積的最值。
例題，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則向量PA·(向量PB+向量PC)的最小值？
［解析］以BC為中點為坐標為原點，以BC所在的直線 為x軸，建立平面直角坐標系。
設P（x,y），則向量PA=(－x,√3－y)，向量PB+向量PC=（－2x,－2y）.
所以向量PA·(向量PB+向量PC)=2x^2+(y－√3)·2y=2x^2+2y^2－2√3y=2x^2－2(y－√3/2)^2－3/2。
當x=0，y=√3/2時，向量PA·(向量PB+向量PC)取最小值，即該最小值為－3/2.
04突破點三：平面向量的垂直問題
第一，利用坐標運算證明或判斷兩個向量的垂直問題。
第一步，計算出這兩個向量的坐標；
第二步，根據向量數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0，此時這兩個向量垂直。
第二，已知兩個向量的垂直關係，求解相關參數的數值。
根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關係式，進而求解參數。
例題，已知非零向量m，n滿足4|m|=3|n|，cos＜m,n＞=1/3.
若向量n⊥(t·向量m+向量n)，則實數t的值為？
A.4
B.－4
C.9/4
D.－9/4
［解析］方法一：根據兩個向量垂直列出式子，根據該式子得出t的值。
因為向量n⊥(t·向量m+向量n)，則向量n·(t·向量m+向量n)=0，則有
t·向量m·向量n+(向量n)^2=0。
因為4|m|=3|n|，cos＜m,n＞=1/3，所以有t|m|·|n|×1/3+n^2=0，即3/4·t·|n|^2×1/3+n^2=0.
因為向量n不為0，則有t×1/4+1=0，所以t=－4.
故答案選B。
方法二：根據4|m|=3|n|設出這兩個向量的模，結合這兩個向量垂直得出的關係式，得出t的數值。
因為4|m|=3|n|，所以設|m|=3k，|n|=4k（k>0）.
因為向量n⊥(t·向量m+向量n)，則向量n·(t·向量m+向量n)=0，則有12k^2·t×1/3+16k^2=0，解得到t=－4.
05突破點四：平面向量的模的相關問題
求解向量的模的相關問題，只需要藉助模的相關公式計算即可，但是在求解的過程中需要掌握以下的方法和結論：
第一，掌握向量模的三種計算公式。
①|a|=√a^2或者|a|^2=a^2；
②|a±b|=√(a±b)^2=√(a^2±2a·b+b^2)；
③若a=(x,y)，則|a|=√(x^2+y^2)或者|a|^2=x^2+y^2.
註：上述的a都是向量a。
第二，要掌握一些簡單的平面向量的幾何意義。
①|a|為定值，則說明當表示向量的有向線段的起點確定後，其終點在以起點為圓心，以|a|為半徑的圓上運動——長度確定，起點確定後以|a|長度的向量有很多；
②若|a+b|=|a－b|（a,b都是向量），則說明向量a⊥向量b；
③若(a+b)·(a－b)=0，則說明|a|=|b|——a,b都是向量。
第三，求解向量或者和向量的模的取值範圍。
①代數法：把所求的模表示成某個變量的函數，再用最值的方法求解；
②幾何法（數形結合的方法）：理解所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解；
③利用絕對值三角不等式：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值範圍——這裡a,b都是向量。
例題，已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2，則|a+b|+|a－b|的最小值？
|a+b|+|a－b|的最大值又是多少？
（a,b都是向量）
［解析］已知向量a,b滿足|a|=1，|b|=2，則
（|a+b|+|a－b|）^2=2(a^2+b^2)+2|a+b|·|a－b|
=2(a^2+b^2)+2√(a^2+b^2+2a·b)·√(a^2+b^2－2a·b)
=2(a^2+b^2)+2√［(a^2+b^2)^2－4(a·b)^2］
這裡a,b都是向量。
因為|a|=1,|b|=2，則上述
=2（1+4）+2√［25－4（a·b）^2］
=10+2√［25－4(a·b)^2］
因為a·b=|a|·|b|·cos＜a,b＞=2·cos＜a,b＞，所以－2≤a·b≤2，所以(a·b)^2≤4.
則有（|a+b|+|a－b|）^2=10+2√［25－4(a·b)^2］的範圍為［16,20］.
所以|a+b|+|a－b|的取值範圍為［4,2√5］.
所以|a+b|+|a－b|的最小值為4，最大值為2√5.
06突破點五：求平面向量的夾角
求解兩個非零向量之間的夾角的步驟：
第一步，由坐標運算或者定義計算出這兩個向量的數量積；
第二步，分別求出這兩個向量的模；
第三步，根據公式cos＜a,b＞=a·b/|a|·|b|=(x1x2+y1y2)/(√［(x1)^2+(y1)^2］·√［(x2)^2+(y2)^2］)求解出這兩個向量夾角的餘弦值——a,b都是向量；
第四步，根據兩個向量夾角的範圍是［0，π］及其夾角的餘弦值，求出這兩個向量的夾角。
例題，已知向量BA=(1/2,√3/2)，向量BC=(√3/2,1/2)，則∠ABC=？
A.30度
B.45度
C.60度
D.120度
［解析］因為向量BA=(1/2,√3/2)，向量BC=(√3/2,1/2)，|BA|=|BC|=1.
向量BA·向量BC=√3/4+√3/4=√3/2.
cos∠ABC=向量BA·向量BC/|向量BA|·|向量BC|=√3/2/1=√3/2.
又因為0度≤∠ABC≤180度，所以∠ABC=30度。
所以答案選A.
07突破點六：平面向量數量積的綜合應用
平面向量集數與形於一體，是溝通代數、幾何與三角函數的一種非常重要的工具。
考查的內容，常將它與幾何問題、三角函數、解三角形問題結合起來考查。
第一，用平面向量解決平面幾何問題，常用方法：
①利用已知條件（或者利用向量線性運算將條件轉化），結合平面幾何知識及向量數量積直接求解。
②基向量方法或者坐標法。
若便於建立直角坐標系，則建立平面直角坐標系，可以利用向量的坐標使幾何問題代數化，根據向量的坐標運算較快得到結果。
第二，解決向量與三角函數、解三角形知識綜合題的關鍵是把向量關係轉化為向量的有關運算，再進一步轉化為實數運算（即坐標運算），進而利用三角函數或正餘弦定理等知識解決問題。
例題，已知向量a=(cosx,sinx)，向量b=(3,－√3)，x∈［0,π］.
⑴若向量a∥向量b，求x的值；
⑵記f(x)=向量a·向量b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值。
［解析］⑴因為向量a=(cosx,sinx)，向量b=(3,－√3)，向量a∥向量b，則有－√3cosx－3sinx=0，即－√3cosx=3sinx.
若cosx=0，則sinx=0，與(sinx)^2+(cosx)^2=1矛盾，故cosx≠0.
於是tanx=－√3/3。
又因為x∈［0,π］,所以x=5π/6.
⑵因為f(x)=向量a·向量b=（cosx,sinx）·(3,－√3)=3cosx－√3sinx=2√3cos(x+π/6)。
因為x∈［0,π］，x+π/6∈［π/6,7π/6］.
從而－1≤cos(x+π/6)≤√3/2.
於是，當x+π/6=π/6，即當x=0時，函數f(x)取到最大值3；
當x+π/6=π，即x=5π/6時，函數f(x)取到最小值－2√3.
08總結
上述主要講向量數量積的使用以及使用數量積的一些題型。
有向量數量積的運算、有數量積的取值範圍與最值、有向量垂直的轉化、有相關模的問題、有夾角問題和向量數量積在綜合題中的運用。
向量這塊的知識點不難，但是它會出現在綜合題中，也是解決問題的關鍵，在解大題時哪個環節斷了都不能順利的解決出題來。
更為重要的是向量的使用，向量可以簡化做題的難度，是做題的有利武器，尤其是在幾何中的使用。
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