沈老師教你'巧用三角函數sin2x+cos2x=1'

2021-01-14 菁爍教育

  1）在函數值域中的應用

例：已知f(x)=√3x+√1-3x,求f(x)的取值範圍？

解：方法一：平方法

方法二：三角函數法

由題意得0≤3x≤1

       令3x=sin2t       0≤ t≤∏/2

  上式=√sin2t+√1-sin2t=sint+cost=√2sin(t+∏/4)

  因為0≤ t≤∏/2

      ∏/4≤ t+∏/4≤3∏/4

     √2/2≤Sin(t+∏/4)≤1

所以1≤√2Sin(t+∏/4)≤√2

即1≤f(x)≤√2

2）在複數中的應用

例：若複數z滿足|z|=1，求|z-i|的最大值。

解：方法一：設z=a+bi   a2+b2=1

        |z-i|=√a2+(b-1)2=√2-2b

   因為|b|≤1

        0≤2-2b≤4

 0≤√2-2b≤2

所以|z-i|的最大值為2

方法二：利用圓的知識做。

     |z|=1表示的幾何意義為圓心為坐標原點，半徑為1的圓

     |z-i|表示點z與點（0,1）之間的距離，當點z位於（0，-1）時，|z-i|的最大值為2

方法三：利用三角函數

  設z=cost+isint

     |z-i|=√cos2t+(sint-1)2=√2-2sint

  當Sint=-1時，|z-i|的最大值為2

3）在圓中的應用

例：已知實數x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0

(1)求y-x的最大值和最小值

(2)求x2+y2的最大值和最小值

解（1）方法一：利用圓和直線來求，轉化到圓心到直線的距離加減半徑的問題（省略）

   方法二：利用三角函數

    x2+y2-4x+1=0得（x-2）2+y2=3

 令x=√3cost+2   y=√3sint

    Y-x=√3sint-√3cost-2 =√6(sint-∏/4)-2

因為-√6≤√6(sint-∏/4)≤√6

所以√6(sint-∏/4)-2

即y-x的最大值√6-2，最小值-√6-2

（2）方法一：利用兩點間距離來求，轉化到兩點間距離加減半徑的問題（省略）

     方法二：利用三角函數

    x2+y2-4x+1=0得（x-2）2+y2=3

 令x=√3cost+2   y=√3sint

    x2+y2=(√3cost+2）2+(√3sint)2=4√3cost+7

 當cost=-1時，x2+y2有最大值4√3+7

 當cost=1時，x2+y2有最小值-4√3+7

4）在圓錐曲線中的應用

例：設A1A2為橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) 的左右頂點，若在橢圓上存在異於A1A2點P,使得向量PO.PA2=0，其中0為坐標原點，則橢圓離心率的取值範圍？

解：方法一：利用直線與圓錐曲線聯立求

      方法二：利用三角函數

  令x=acost  y=bsint     則點P(acost,bsint)

      Po=(-acost,-bsint)   PA2=(a-acost,-bsint)

      PO.PA2=a2cos2t-a2cost+b2sin2t=a2-c2+c2cos2t-a2cost=0

      1-e2+e2cos2t-cost=0

      e2=1/(1+cost)

      e>√2/2

  又0<e<1

所以√2/2<e<1

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