求不定積分∫x^3/√(1-x^2)dx的三種方法

2021-01-10 網易

2020-02-21 18:02:14　來源: 楚鄂新阿

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　　本文主要內容，介紹求不定積分∫x^3/√(1-x^2)dx的三種方法和步驟。

　　

　　解法一：

　　思路：根據分子分母的關係，直接變形化簡求得：

　　I=-∫[x(1-x^2)-x]dx/√(1-x^2)

　　=-∫x(1-x^2)dx/√(1-x^2)+ ∫xdx/√(1-x^2)

　　=-∫x√(1-x^2)dx-(1/2) ∫d(1-x^2)/√(1-x^2)

　　=(1/2) ∫√(1-x^2)d(1-x^2)-√(1-x^2)

　　=(1/3)√(1-x^2)^3-√(1-x^2)+c

　　解法二：

　　思路：利用不定積分的分部積分方法求得：

　　I=∫x^2*xdx/√(1-x^2)

　　=-(1/2)∫x^2d(1-x^2)/√(1-x^2)

　　=-∫x^2d√(1-x^2)

　　=-x^2√(1-x^2)+ ∫√(1-x^2)dx^2

　　=-x^2√(1-x^2)-∫√(1-x^2)d(1-x^2)

　　=-x^2√(1-x^2)-(2/3)√(1-x^2)^3+c

　　解法三：

　　思路：利用三角函數的代換關係求得。

　　設x=sint，則cost=√(1-x^2),此時：

　　I=∫sin^3td(sint)/√(1-sin^2t)

　　=∫sin^3t*cost dt/cost

　　=∫sin^3 t dt

　　=∫sint(1-cos^2 t)dt

　　=∫sintdt-∫sintcos^2 tdt

　　=-cost+∫cos^2tdcost

　　=-cost+(1/3)cos^3 t+c

　　=-√(1-x^2)+ (1/3)√(1-x^2)^3+c.

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