三種方式計算不定積分∫x√(x+1)dx

2021-01-08 吉祿學閣

主要內容：

通過根式換元、分項湊分以及分部積分法等相關知識，介紹不定積分∫x√(x+1)dx的三種計算方法和步驟。

根式換元法：

設√(x+1)=t，則x=(t^2-1),代入得：

∫x√(x+1)dx

=∫t*(t^2-1)d(t^2-1),

=2∫t^2*(t^2-1)dt,

=2∫(t^4-1t^2)dt,

=2/5*t^5-2/3*t^3+C,

=2/5*(x+1)^(5/2)-2/3*(x+1)^(3/2)+C,

根式部分湊分法

∫x√(x+1)dx

=∫x√(x+1)d(x+1),

=2/3∫xd(x+1)^(3/2),

=2/3*x(x+1)^(3/2)- 2/3∫(x+1)^(3/2)dx,

=2/3*x(x+1)^(3/2)- 2/3∫(x+1)^(3/2)d(x+1),

=2/3*x(x+1)^(3/2)- 4/15*(x+1)^(5/2)+C,

整式部分湊分法

A=∫x√(x+1)dx,

=(1/2)∫√(x+1)dx^2,

=(1/2)x^2√(x+1)-(1/2)∫x^2d√(x+1),

=(1/2)x^2√(x+1)-(1/4)∫x^2/√(x+1)dx,

=(1/2)x^2√(x+1)-(1/4)∫[x(x+1)-(x+1)+1]/√(x+1)dx,

=(1/2)x^2√(x+1)-(1/4)A+1/4∫√(x+1)dx-1/4∫dx/√(x+1),

(5/4)A=(1/2)x^2√(x+1)+1/4∫√(x+1)dx-1/2∫dx/2√(x+1),

A=(2/5)x^2√(x+1)+1/5∫√(x+1)d(x+1)-2/5√(x+1),

A=(2/5)x^2√(x+1)+2/15(x+1)^(3/2)-2/5*√(x+1)+C

可見，三種方法的最終結果的函數表現形式不一樣，但最終均可化簡成同一解析式。

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