計算y1=1/x,y2=x與x=e圍成的面積

主要內容：

本文通過定積分知識，分別以微元dx、dy計算曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e圍成的面積的主要步驟過程。

方法一：微元dx計算區域面積

此時畫出曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e圍成的區域示意圖，先求曲線y1與直線y2的交點，即：

1/x=xx^2=1,取正數x1=1。

此時面積定積分表示為：

S=∫[x1,x2](y2-y1)dx

=∫[1,e](x-1/x)dx

=1/2*x^2-lnx[1,e]

=1/2*e^2-lne-1/2

=1/2*e^2-1-1/2

=1/2*e^2-3/2。

方法二：微元dy計算區域面積

此時畫出曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e^1圍成的區域示意圖，對以dy為微元計算面積時，總面積由三角形面積ABD和曲邊形ABC的面積和,即S=Sabc+Sabc。

同理聯立曲線y1與直線y2，1/x=x，

即x^2=1,取正數x1=1。則：

AB=x2-x1=e-1,並對應求得縱坐標得：

y1=1/1=1,y2=2，則：

BD=y2-y1=e-1，此時三角形ABC的面積為：

Sabc=(1/2)AB*BD

=(1/2)(e-1)*(e-1)

=(1/2)(1-2e+e^2).

當x=e時，y3=1/e,則：

Sabc=∫[y3,y1](e-1/y)dy

=(ey-lny)[1/e,1]

=e-2,

此時S有：

S=Sabc+Sabc

=(1/2)(1-2e+e^2)+e-2

=1/2*e^2-e+e-3/2

=1/2*e^2-3/2。