微分方程y〞+y=(sin2x+cos2x)e^2x怎麼解?

2021-01-08 吉祿學閣

微分方程的特徵方程為：

r2+1=0，

r1,2=±i，

即該方程的齊次微分方程的通解為：

y*=c1sinx+c2cosx

又因為λ+iw=2+2i，不是特徵方程的根，則設特解為：

y1=(msin2x+ncos2x)e^2x;

兩次求導得：

y1＇

=(2mcos2x-2nsin2x)e^2x+2(msin2x+ncos2x)e^2x;

=(2mcos2x-2nsin2x+2msin2x+2ncos2x)e^2x;

=[(2m-2n)sin2x+(2m+2n)cos2x]e^2x。

y1〞

=[(4m-4n)cos2x-(4m+4n)sin2x]e^2x+2[(2m-2n)sin2x+

(2m+2n)cos2x]e^2x;

=(-8nsin2x+8mcos2x)e^2x;

此時y1〞+y

=[(m-8n)sin2x+(8m+n)cos2x]e^2x=(sin2x+cos2x)e^2x;

則：

m-8n=1且8m+n=1，求得：m=9/65,n=-7/65。

y1=[(9/65)sin2x-(7/65)cos2x]e^2x;

微分方程的通解為：

y=y*+y1=c1sinx+c2cosx+[(9/65)sin2x-(7/65)cos2x]e^2x。

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