本文主要內容，通過數學變形，並利用可分離變量方法求解分式微分方程dy/dx=(2x^3+3xy^2+x)/(3x^2y+2y^3-y)的通解。
第一步：微分方程基本變形：
dy/dx=(2x^3+3xy^2+x)/(3x^2y+2y^3-y),
右邊分母分子分別提取公因式x，y，則：
dy/dx=x(2x^2+3y^2+1)/y(3x^2+2y^2-1),
將右邊提出的x，y移動到等號左邊。
ydy/xdx=(2x^2+3y^2+1)/(3x^2+2y^2-1),
左邊湊分分別到dy、dx中，得：
dy^2/dx^2=(2x^2+3y^2+1)/(3x^2+2y^2-1)。
第二步，對等號右邊進行分離變形
設：(2x^2+3y^2+1)/(3x^2+2y^2-1)
=[2(x^2+a)+3(y^2+b)]/[3(x^2+a)+2(y^2+b)].
由對應項係數相等方程：
2a+3b=1,且3a+2b=-1。解方程得a=-1,b=1.
代入微分方程得：
dy^2/dx^2=[2(x^2-1)+3(y^2+1)]/[3(x^2-1)+2(y^2+1)].
第三步，換元法得新微分方程
設：u=(y^2+1)/(x^2-1),則：
u(x^2-1)=y^2+1,兩邊求全微分得：
(x^2-1)du+udx^2=dy^2
dy^2/dx^2=u+(x^2-1)du/dx^2，回代微分方程得：
u+(x^2-1)du/dx^2
=[2(x^2-1)+3u(x^2-1)]/[3(x^2-1)+2u(x^2-1)]
=(2+3u)/(3+2u)。
第四步，對新微分方程積分
用分離變量積分法，對變形後的微分方程積分如下：
(x^2-1)du/dx^2=2(1-u^2)/(3+2u)
(3+2u)du/(1-u^2)=2dx^2/(x^2-1)
3∫du/(1-u^2)-∫d(1-u^2)/(1-u^2)=2∫d(x^2-1)/(x^2-1)
ln[(1+u)/(1-u)]^(3/2)-ln|1-u^2|=ln(x^2-1)^2+c1
[(1+u)/(1-u)]^(3/2)/(1-u^2)=c2(x^2-1)^2.
(1+u)^(1/2)*(1-u)^(-5/2)=c2(x^2-1)^2.
第五步，回代換元變量，得方程通解
(1+u)^(1/2)=c2(x^2-1)^2*(1-u)^(5/2).
[(x^2+y^2)/(x^2-1)]^(1/2)=c2(x^2-1)^2*[(x^2-y^2-2)/(x^2-1)]^(5/2)
[(x^2+y^2)/(x^2-1)]^(1/2)=c2(x^2-1)^(-1/2)*(x^2-y^2-2)^(5/2)
即：本題微分方程的通解為：
(x^2+y^2)=C(x^2-y^2-2)^5。