知識定位
不定方程是數學競賽中經常出現的一些特殊形式的方程中的一種。要熟練掌握二元一次不定方程的定義及定理以及二元一次不定方程的解法。節我們通過一些實例的求解，旨在介紹數學競賽中二元一次不定方程相關問題的常見題型及其求解方法本講將通過例題來說明這些方法的運用。
知識梳理
1、二元一次不定方程的定義及定理
（1）定義
如果一個方程含有兩個未知數，並且所含未知項的次數是1，那麼這個整式方程就叫做二元一次不定方程，有無窮個解,若加條件限定有有限個解。二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不為零。x+y=1是一個典型的二元一次不定方程
（2）不定方程解的判定
如果方程的兩端對同一個模 (常數)不同餘,顯然,這個方程必無整數解.而方程如有解則解必為奇數、偶數兩種，因而可以在奇偶分析的基礎上應用同餘概念判定方程有無整數解.
2、二元一次方程有關定理
定理1：二元一次不定方程ax+by=c，
（1）若其中（a，b） c，則原方程無整數解；
（2）若（a，b）=1，則原方程有整數解；
（3）若（a，b）｜c，則可以在方程兩邊同時除以（a，b），從而使原方程的一次項係數互質，從而轉化為（2）的情形．如：方程2x+4y=5沒有整數解；2x+3y=5有整數解．
定理2：若不定方程ax+by=1有整數解 ，
則方程ax+by=c有整數解 ，此解稱為特解。
方程方程ax+by=c的所有解（即通解）為 （k為整數）
定理3：若 是不定方程 ， 的特解，則 是方程 的一個特解. （其中 ,且d能整除c）.
3、 求解不定方程
求整係數不定方程的正整數解，通常有以下步驟：
（1）判斷有無整數解；
（2）求出一個特解；
（3）寫出通解；
（4）有整數t同時要滿足的條件（不等式組），代入命題（2）中的表達式，寫出不定方程的正整數解.
解不定方程（組），需要依據方程（組）的特點，沒有統一的解法,
（1）分離整係數法； （2）窮舉法； （3）因式分解法； （4）配方法；
（5）整數的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.
對方程進行適當的變形,並正確應用整數的性質是解不定方程的基本思路
例題精講
【試題來源】
【題目】求下列不定方程的整數解（1） ； （2）
【答案】如下解析
【解析】 解：（1） 原方程變形為： ，
觀察得到 是 的一組整數解（特解），
根據定理2 ， 是原方程的所有整數解.
（2） ∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根據定理1，原方程的無整數解.
【知識點】二元一次不定方程
【適用場合】當堂例題
【難度係數】2
【題目】求方程 的所有正整數解
【答案】
【解析】 解：∵（7，19）=1，根據定理2，原方程有整數解.
由原方程可得 ，
由此可觀察出一組特解為x0=25，y0=2.
∴方程的通解為 .
其中 ∴
∴
∴
代入通解可得原方程的正整數解為
【適用場合】當堂練習
【難度係數】3
【題目】大客車能容納54人，小客車能容納36人，現有378人要乘車，問需要大、小客車各幾輛才能使每個人都能上車且各車都正好坐滿.
【答案】需要大客1車輛，小客車9輛；或需要大客車3輛，小客車6輛；或需要大客車5輛，小客車3輛；也可以只要大客車7輛，不要小客車
【解析】 解：設需要大客車x輛，小客車y輛，
根據題意可列方程 ，即 .
又（3，2）=1，根據定理2，原方程有整數解.
易知 是一個特解，通解為
由題意可知
解得
相應地
答：需要大客1車輛，小客車9輛；或需要大客車3輛，小客車6輛；或需要大客車5輛，小客車3輛；也可以只要大客車7輛，不要小客車
【試題來源】新加坡數學競賽題
【題目】設正整數m,n滿足 ，則m的最大值為
【答案】75
【解析】 解: ∵ ，
∴ ，
由題意可得，n≠8，
∴ ，
∵m,n為正整數，
∴ 當n=9時，m有最大值為75
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】4
【題目】求方程4x+5y=21的整數解
【解析】 解：因為方程4x+5y=1有一組解 ，
所以方程4x+5y=21有一組解 ．
又因為方程4x+5y=0的所有整數解為 （k為整數），
所以方程4x+5y=21的所有整數解為 （k為整數）．
說明：本題也可直接觀察得到方程4x+5y=21的一組特解 ，
從而得到4x+5y=21的通解 （k為整數）
【題目】求方程63x+8y=－23的整數解
【答案】 ，k為整數
【解析】 解：（1）用x、y中係數較大者除以較小者．63=8×7+7．
（2）用上一步的除數除以上一步的餘數．8=7×1+1
（3）重複第二步，直到餘數為1為此．
（4）逆序寫出1的分解式
1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63．
（5）寫出原方程的特解和通解．
所以方程63x+8y=1有一組特解 ，
方程63x+8y=－23有一組特解 ，
所以原方程的所有整數解為 ，k為整數
【題目】若 都是正整數，且 求 的值
【答案】9
【解析】解：由已知可得 ，
觀察可得 ，
於是不定方程的解為 為整數），
是正整數，
，
得 ，
知
【題目】設 和 大於0的整數，且 ①若 和 最大公約數為15，則 ；②若 和 的最小公倍數為45，則
【解析】 解： 的最大公約數為15，可令 為正整數），由已知得 的解為 ，而 且 為正整數，有 ，知 ；當 時 （捨去），當 時， ，此時 和 的最小公倍數為45，可令 為正整數），由已知得 ，由 得 ，於是有 ，則只有 ， 此時
【難度係數】5
【題目】全年級104人到公園划船，大船每隻載12人，小船每隻載5人，大小船每客票價相等，但無論坐滿與否都要照滿載算價，試計算，大小船各租幾隻才能既使每人都能乘船又使費用最省？
【答案】大小船各租2隻，16隻或7隻，4隻時，既使每人都能乘船又使費用最省
【解析】 解：設大小船各租x只，y只，
由題意得 為非負整數）。
當 時費用最省，
此時 由
得 且 能被5整除，
，當 時， 當 時，
答：大小船各租2隻，16隻或7隻，4隻時，既使每人都能乘船又使費用最省
【題目】一頭豬賣 銀幣，一頭山羊賣 銀幣，一頭綿羊賣 銀幣，有人用100個銀幣買了100頭牲畜，問買了豬、山羊、綿羊各幾頭？
【答案】買豬0頭，山羊60頭，綿羊40頭；買豬5頭，山羊42頭，綿羊53頭；買豬10頭，山羊24頭，綿羊66頭；買豬15頭，山羊6頭，綿羊79頭
【解析】 解：設買豬x頭，山羊y頭，則買綿羊 頭， 為非負整數，
由題意得 ，
整理得 ，
由 得 ，
又 為5的倍數，
當 時， ； 當 時， ；
當 時， ；當 時， ，
答：買豬0頭，山羊60頭，綿羊40頭；買豬5頭，山羊42頭，綿羊53頭；買豬10頭，山羊24頭，綿羊66頭；買豬15頭，山羊6頭，綿羊79頭
習題演練
【題目】求方程6x+22y=90的非負整數解
【答案】
【解析】 解： 因為(6，22)=2，所以方程兩邊同除以2得3x+11y=45． ①
由觀察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②
的一組整數解，從而方程①的一組整數解為
由定理可得方程①的一切整數解為
因為要求的是原方程的非負整數解，所以必有
由於t是整數，由③，④得15≤t≤16，
所以只有t=15，t=16兩種可能．
當t=15時，x=15，y=0；
當t=16時，x=4，y=3．所以原方程的非負整數解是
【知識點】二元一次不定方程
【適用場合】隨堂課後練習
【題目】求方程7x+19y=213的所有正整數解
【解析】解：用方程7x+19y=213 ①
的最小係數7除方程①的各項，並移項得
因為x，y是整數，故3-5y/7=u也是整數，於是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的兩邊得
2u+5v=3． ④
由觀察知u=-1，v=1是方程④的一組解．
將u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．
於是方程①有一組解x0=25，y0=2，所以它的一切解為
由於要求方程的正整數解，所以
解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整數解為
【題目】某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貨款，有多少種不同的方法？
【答案】共有4種不同的支付方式
【解析】 解：設需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，
於是7x+5y=142. ①
所以
由於7x≤142，所以x≤20，並且由上式知5｜2(x-1)．
因為(5，2)=1，
所以5｜x-1，從而x=1，6，11，16，①的非負整數解為
所以，共有4種不同的支付方式．
【題目】某單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，並且有 的職工各帶一個孩子參加．男職工每人種13棵樹，女職工每人種10棵樹，每個孩子種6棵樹，他們一共種了216棵樹．那麼其中有多少名男職工？
【答案】12
【解析】 解：設有男職工x人，女職工y人，則孩子有 人，
根據題意可得方程：13x+10y+6× =216，
方程可以整理為：15x+12y=216，
即5x+4y=72，
所以5x=4（y+18），
由上式可以看出5x是4的倍數，5與4的最大公約數是1，則x是4的倍數．
當x=4時，y=13， 不是整數，應捨去；
當x=8時，y=8， 不是整數，應捨去；
當x=12時，y=3， =5，即男職工12人，女職工3人，小孩5人．
當x＞12時，y無解．
可見，男職工有12人．
答：男職工有12人．
【題目】雨軒圖書館內有兩人桌、三人桌和四人桌共五十多張，其中兩人桌的數量為四人桌數量的2倍．這天除了某張桌子坐滿外，其它兩人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人佔用17個座位．請問：圖書館兩人桌、三人桌、四人桌分別有多少張？
【答案】圖書館兩人桌24張、三人桌19張、四人桌12張
【解析】解：設兩人桌有2x張，三人桌有y張，四人桌有x張，
總人數：2x+2y+3x+1，
總座位：4x+3y+4x，
（2x+2y+3x+1）÷（4x+3y+4x）=11÷17，
（5x+2y+1）÷（8x+3y）=11÷17，
85x+34y+17=88x+33y，
y+17=3x，
因為雨軒圖書館內有兩人桌、三人桌和四人桌共五十多張，
所以50＜2x+y+x＜60，
即50＜3x+y＜60，50＜y+17+y＜60，33＜2y＜43，16.5＜y＜21.5，16＜y＜22，
若y=17，則x= ；
若y=18，則x= ；
若y=19，則x=12；
若y=20，則x= ；
若y=21，則x= ；
因為x取整數成立，所以x=12，y=19．
即兩人桌24張、三人桌19張、四人桌12張．
答：圖書館兩人桌24張、三人桌19張、四人桌12張