MATLAB建模實例——微分方程

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❞1 微分方程的解析解

求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(『方程1』,『方程2』,…『方程n』,『初始條件',『自變量』)

記號: 在表達微分方程時，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高階微分.任何D後所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統規則選定為確省。例如，微分方程 

例1求

dsolve('Du=1+u^2','t')
結果：u = tan(t+c)
例2求
y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
結果為:
例3求微分方程組的通解。
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；
x=simple(x) % 將x化簡
y=simple(y)
z=simple(z)
結果為:
2 微分方程的數值解2.1 常微分方程的定義
在生產和科研中所處理的微分方程往往很複雜且大多得不出一般解。而在實際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便於計算的表達式。因此，研究常微分方程的數值解法是十分必要的。
對常微分方程： 
2.2 建立數值解法的一些途徑
設 
[1] 用差商代替導數若步長h較小，則有
故有公式：
此即歐拉法。
[2] 使用數值積分
對方程y'=f(x,y), 兩邊由x_到x_i+1積分，並利用梯形公式，有:
故有公式:實際應用時，與歐拉公式結合使用：對於已給的精確度 
[3] 使用泰勒公式以此方法為基礎，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法。[4] 數值公式的精度當一個數值公式的截斷誤差可表示為
2.2 用Matlab軟體求常微分方程的數值解
「注意」
[1] 在解n個未知函數的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應以x的分量形式寫成。
[2]使用Matlab軟體求數值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組。
「例四」
解：令
則微分方程變為一階微分方程組:
[1]   建立m-文件vdp1000.m如下：
 function dy=vdp1000(t,y)
    dy=zeros(2,1);
    dy(1)=y(2);
    dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
[2] 取t0=0，tf=3000，輸入命令：
[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]);plot(T,Y(:,1),'-')
[3] 結果如圖
「例五」
解微分方程組 
[1] 建立m-文件rigid.m如下：
function dy=rigid(t,y)
       dy=zeros(3,1);
       dy(1)=y(2)*y(3);
       dy(2)=-y(1)*y(3);
       dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);
[2] 取t0=0，tf=12，輸入命令：
[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);
     plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
[3] 結果如圖
圖中，y1的圖形為實線，y2的圖形為「*」線，y3的圖形為「+」線。
3思考題
一個慢跑者在平面上沿橢圓以恆定的速率v=1跑步,設橢圓方程為:  
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