《歐拉方程及微分方程建模》思路與方法

2021-03-01 考研競賽數學


一、歐拉方程及其求解方法

具有結構

的變係數線性微分方程稱之為歐拉方程.

令x=eu，則u=lnx，於是有

記

即用Dk乘以一個函數，就是對該函數求k階導數；並且關於D符合乘法運算律和分配律，即有

所以

用數學歸納法可以驗證，

將原歐拉方程中xky(k)全部用上式代入，則可以將原方程轉化為以y為函數，u為自變量的常係數線性微分方程

即

於是，就可以通過常係數線性微分方程的求解方法求該方程的通解了。

 

【注】歐拉方程其實就是一種線性微分方程的結構，只不過不具有直接的顯性結果，需要換元變換得到。

 

二、常係數線性微分方程組舉例

常係數線性微分方程組解法步驟:

第一步：用消元法消去其他未知函數 , 得到只含一個函數的高階方程；

 

第二步：求出此高階方程的未知函數；

 

第三步：把求出的函數代入原方程組，一般通過求導得其它未知函數.

 

【注1】一階線性方程組的通解中，任意常數的個數 = 未知函數個數

 

【注2】如果通過積分求其它未知函數 , 則需要討論任意常數的關係.

 

三、微分方程模型求解實際問題的基本步驟

(1) 確定模型類型：注意到實際問題中與數學中的導數相關的常用詞語。比如運動學、化學反應中的變化率，速度、速率、加速度，經濟學中的邊際，生物學、金融、經濟等領域中的增長，放射性問題中的衰變以及一般提及的改變、變化、增加、減少等，在幾何上則有切線、法線，這樣的問題都可能與導數或微分相關，有可能通過建立微分方程模型來反映其規律。

 

(2) 轉換描述並統一量綱：梳理出實際問題中涉及到的各種量，並把相關的文字語言描述轉換為數學語言與符號描述形式。如果牽涉到的量有單位，則統一量綱。

 

(3) 確定因變量與自變量：根據所求結果，確定與結果相關的兩個量，一個為待求函數變量；一個為自變量；而與變化率相關的量即為待求函數的導數。

 

(4) 建立微分方程：分析問題中所涉及的原理或物理定律，根據已有變化率描述；或者藉助微元分析法，給自變量一個增量，建立因變量增量與自變量增量相關的等式，並由平均變化率取關於自變量增量趨於0的極限，得到包含待求函數導數的相關等式，即微分方程描述形式。

 

(5) 確定初值條件：根據問題，找出並明確可能的初值條件；值得注意的是：有些初值條件不一定直接給出，可能在問題的解決過程中獲得。

 

(6) 寫出模型：寫出由微分方程和初始條件構成的常微分方程初值問題模型。

 

(7) 求解初值問題：求初值問題的解，給出問題的答案。

 

微元法建立微分方程模型的方法與步驟請參見文末推薦閱讀！

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