《不定積分的分部積分法》內容小結與參考課件節選

2021-02-24 考研競賽數學

一、分部積分法的基本依據

不定積分的分部積分法基於兩個函數的乘積的求導運算法則，即

二、分部積分法的基本思路

不定積分的分部積分法的關鍵是構造v.

 

基本思路：是將被積函數f(x)拆分成兩個函數的乘積，即f(x)=g(x)h(x)，並且其中一個函數的原函數好求，如h(x)的原函數H(x)，則可以直接令u=g(x)，H(x)=v，則藉助分部積分公式可以將積分轉換為H(x)g』(x)的積分計算，如果該積分比原來的不定積分計算容易計算，則對f(x)的拆分是一個有效拆分，否則需要重新考慮其它方法.

 

三、使用原則與題型

反對冪指三：u，v的構造除了有「反(反三角函數)對(對數函數)冪(冪函數)指(指數函數)三(三角函數，主要就是正弦、餘弦函數)，前者為u，後者為v」原則外：

(1)v函數的選取也可以考慮對被積函數f(x)的部分求導數的方法構造. 比如

當然這個題目也可以先考慮換元法進行計算，具體參見課件的例12.

 

(2)如果被積函數不好拆分，則直接令被積函數f(x)=u，x=v進行分部積分計算. 如對arcsinx，lnx直接求不定積分，則u=arcsinx，v=x；u=lnx，v=x.

 

(3)對含自然數n的積分, 通過分部積分建立遞推公式 . 參見課件中的例9. 如果是三角函數或者可以轉換三角函數的n次方的積分，則考慮藉助三角函數函數的恆等式拆分n次方，比如

sinnxdx=sinn-1xsinxdx=-sinn-1xdcosx

以及參考例10.

 

【注1】如果要多次使用分部積分法，則注意前後的u，v所設函數類型必須一致；即第一步選用三角函數構造v，則第二次使用分部積分法時，必須也用三角函數構造v.

 

【注2】對於抽象函數中包含有一階、二階等導數乘積項的不定積分，一般直接由抽象函數的導數構造v函數，使用分部積分法計算不定積分，即

f』(x)dx=df(x)，f』』(x)dx=df』(x)，… . 

參見課件中的例11.

 

【注3】不定積分一般綜合使用換元法與分部積分法來計算，一般都是先換元後分部.

 

【注4】不定積分是原函數族 , 兩個不定積分相減不應為0. 參見練習5.

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