擴展到任意角。什麼是任意角，任意角的三角函數又是什麼，是我們這次聚會的主題。
任意角α終邊上任意一點P的坐標是(x,y)，它與原點的距離r＝√x^2+y^2＞0,則比值y/r正弦,x/r餘弦,y/x 正切。記作sinα＝y/r，cosα＝x/r，tanα＝y/x
如圖
他們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數稱為三角函數
三角函數sinα，定義域R
三角函數cosα，定義域R
三角函數tanα，定義域｛α｜α≠π/2+kπ,k∈Z｝
三角函數在值，在各象限的符號，如圖
口訣：一全正，二正弦，三正切，四餘弦。方便記憶。
特殊角的三角函數值：
0：sin0＝0,cos0＝1,tan0＝0
30：sin30＝1/2,cos30＝√3/2,tan30＝√3/3
45:sin45＝√2/2,cos45＝√2/2,tan45＝1
在練習中，可以運用特殊三角函數值。簡便運算。
三角函數線，如圖所示
單位圓中的有向線段MP、OM、分別為角α的正弦線，餘弦線和正切線，統稱為三角函數線。
三角函數的關係
商數關係tanα＝sinα/cosα。
平方關係sinα+cosα＝1
證明:設∠α終邊過（x,y）且x+y≠0(因為如果x+y＝0，坐標（0，0）就在原點，此時角為0或180沒有研究意義。)
r＝√x+y
sinα＝y/r
cosα＝x/r
tanα＝y/x
sinα+cosα＝y/r+x/r＝x+y/r＝x+y/x+y＝1；
sinα/cosα＝y/r:x/r＝y/x＝tanα
得證。