大家可能對直角坐標系的接觸比較少，三角函數也可能不能熟練運用，更沒有仔細 「 研究 」 其中的奧秘吧。今天給大家講的 sin x 的泰勒展開，可能會給大家帶來對三角函數不同的印象吧。sin x 的泰勒展開也需要大家對 「 無窮 」 有一定的了解，會用到以前沒有講過的 「 微分 」，所以大家不要害怕 「 複雜 」 的符號哦。下面是一些相關的連結，建議先閱讀一下：
一分鐘數學——婆羅摩笈多定理的第一部分（三角函數的簡單定義）
一分鐘數學——等比數列求和（關於無窮）
覺得泰勒展開很有意思的
——無憂公主
在所有之前，我們來講一個名叫 「 微分 」的東西（雖然這樣稱呼 「 微分 」 可能會生氣的），學過的同學也最好複習一下。在泰勒展開中，由於只有 x，微分也可以看做是求導數（y 跑過來之後，就要把導數踢走了哦）。言歸正傳，一般常數的微分等於 0：(a)'=0，大家順便看一下微分的表示方法，其實和導數沒什麼區別。
x ^ n 的微分等於 n ( x ^ (n-1) )，我覺得挺好記的，就是把指數拽到係數那裡去，然後指數肯定要減 1（都被拽走了嘛）。接下來的兩條微分的性質（「 規則 」）可能並不是所有人都知道。① ( sin x )' = cos x；② ( cos x )' = - sin x。是不是挺神奇的？記得好好利用，泰勒展開中要用哦。
你有沒有想過，sin x 可以如何 「 展開 」？寫成式子就是：
最後以省略號結束，代表 「 無窮 」，需要求的就是 a0，a1，a2，…… 的值，準確地說就是通項公式。然後，我們就可以開始 「 微分 」 了，就是等式兩邊同時、不停地微分下去。左邊的三角函數的微分，其實是四個一循環的：sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x，再回到 sin x……我們也會注意到，凡是把右邊微分後，第一項（常數）就為 0 了，也就是可以直接忽略。
真是一件令人高興的事吧，因為這樣一來，等式左邊在有規律地循環著，等式右邊每次都減少一項。當然，x = 0 時等式也會成立，那將 x = 0 帶入，將消去所有 x 指數大於 0 的項（都是 0 啊）。這樣一來，就可以順利求出 a0，a1，a2，……啦，sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分別是 0、+1 、0、-1（顯然的規律）。上面是微分的過程，下面是對於所有係數得到的等式。
說了這麼多，大家都已經能夠順利求出所有的係數了（數列 a 咯），現在來總結一下我們的結果（不能那麼草率地就做完了啊，這個答案顯然不令人滿意，需要有正規的通項公式）。首先，等式左邊是四個一循環，可以從除以 4 的餘數來考慮（分類）；然後，等是右邊可以用字母來代替，就是 k! × ak，這裡 k! 代表階乘。所以說，我們可以得到一個看上去漂亮的結果：
如果將係數數列 a 代入，那麼偶數項都會消掉（係數為 0），只剩下一加一減的奇數項了。這就是 泰勒展開（其實泰勒展開有好幾個，這裡只是 sin x 的泰勒展開）：
好啦，sin x 的泰勒展開就講到這裡，不過實際上還能延伸出一些其他問題，就不多介紹了。你有沒有想過三角函數有這麼神奇呢？還是微分的功勞吧（雖然你可能還不是特別理解微分，但這並不妨礙我們解決泰勒展開哦）……